![]()
Главная Обратная связь Дисциплины:
Архитектура (936) ![]()
|
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
Лекция 2 Тема: Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной системе координат. Применение двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат Мы будем предполагать, что f(x,y) ≥0 и непрервына в Далее найдём объем цилиндрического тела по площадям параллельных сечений
Таким образом двойной интеграл можно вычислять по одной из формул.
Формулы остаются справедливыми, если f(x,y) не является знакоположительной. Если граница Пример 1. Изменить порядок интегрирования Решение: Вначале надо изобразить на чертеже область интегрирования D. Так как внешний интеграл берется от 0 до 1 по переменной х, то область D проецируется на отрезок [0,1] оси 0Х. Далее, внутренний интеграл берется по переменной y, поэтому уравнение нижней кривой, ограничивающей область D, имеет вид y=x, где х-нижний предел, а уравнение верхний кривой имеет вид y=2-x
![]() Теперь область D спроецируем на ось 0Y. Область D на ось 0y спроецируется в отрезок [0,2]. Если смотреть с оси 0Y в положительном направлении оси 0Х, то снизу область D ограничена осью 0Y, уравнение которой х=0, а сверху область D ограничена линией 0AB, которая одним уравнением не записывается. Поэтому область D надо разбить на 2 области 0AC и CAB. Следовательно, будем иметь: Поясним, что верхний предел во внутреннем интеграле первого интеграла в равенстве справа находится из уравнения лини 0А: y=x . В этом уравнении х выражается через y, т.е. x=y, поэтому y является верхним пределом. Аналогично, верхний предел во внутреннем интеграле второго интеграла в равенстве справа находится из уравнения линии AB: y=2-x. Из последнего равенства выражаем х через y, т.е. x=2-y, поэтому 2-y – является верхним пределом во внутреннем интеграле второго интеграла справа равенства. Из приведенного примера видно, что при вычислении двойного интеграла предварительно надо проанализировать на какую ось целесообразнее проецировать область D. Пример 2. Вычислить Решение: Изобразим область D на чертеже.
Сверху область ограничена прямой y=2, поэтому имеем:
Постоянный множитель 2 можно вынести за знак двойного интеграла. Внутренний интеграл Пример 3. Вычислить Решение: Сначала найдём точки пересечения линий х1=0 х2=1 Область D проецируется на ось 0Х в отрезок [0;1]; Теперь будем смотреть вдоль оси 0Y в положительном направлении. Снизу область D ограничена линией Внутренний интеграл берётся по y, считая x константой на время вычисления внутреннего интеграла.
![]() |