Уравнения активного многополюсника

Рассмотрим произвольный активный многополюсник (см. рис. 11.2). В случае активного многополюсника принято внутри окружности, обозначающей многополюсник, ставить букву А. Если многополюсник пассивный, то ставят букву П.

Как было отмечено выше, для анализа работы многополюсника нужно заменить внешнюю цепь источниками э.д.с. или тока. Причем источники должны образовать дерево, связывающее полюсы многополюсника. В этом случае напряжения источников однозначно определяют напряжения между любыми полюсами. Например, на рис. 11.2 напряжение между полюсами 1 и 3

.

Выведем уравнения многополюсника, используя схему на рис.11.2. Токи в этой цепи найдем, используя метод наложения. Для этого сначала найдем токи, вызываемые внутренними источниками, затем токи, создаваемые каждым внешним источником в отдельности.

Для нахождения токов от внутренних источников нужно закоротить внешние источники э.д.с. В результате получим схему на рис. 11.3, а. Токи многополюсника в этой схеме совпадают с токами короткого замыкания

;

;

.

Токи короткого замыкания обозначаем символами источников тока, потому что в схемах замещения многополюсников они учитываются с помощью источников тока. Эти токи определяются полностью внутренними источниками и внутренней схемой многополюсника и должны рассматриваться как параметры, характеризующие его свойства.

а)	б)
Рис. 11.3

При нахождении токов от действия э.д.с. нужно закоротить все остальные внешние источники э.д.с. и исключить внутренние источники (закорачиванием э.д.с. и размыканием источников тока). В результате получаем цепь на рис. 11.3,б. Ввиду линейности цепи токи во всех ветвях пропорциональны э.д.с. , то есть:

;	(11.1)
;	(11.2)
,	(11.3)

где коэффициенты пропорциональности имеют размерность проводимости и обозначаются символами Y с индексами. Аналогичным образом запишутся выражения для токов от других внешних источников

;	(11.4)	;	(11.7)
;	(11.5)	;	(11.8)
;	(11.6)	.	(11.9)

Нетрудно видеть, что представляет собой входную проводимость двухполюсника по отношению к полюсам 2 и 1 при закороченных других парах полюсов. Аналогично проводимость представляет собой входную проводимость по отношению к полюсам 3 и 4. В связи с этим , , называют собственными проводимостями короткого замыкания. Проводимости с разными индексами ( , и т.д.) называют взаимными проводимостями короткого замыкания.

В результате наложения рассмотренных выше режимов получаем для случая четырехполюсника:

;

;

.

Эти уравнения являются уравнениями четырехполюсника в форме Y. В матричной форме эти уравнения запишем как

(11.10)

или в сокращенной записи

,

(11.11)

где значения матриц уравнения (11.11) легко устанавливаются из сопоставления с уравнением (11.10).

Элементы матрицы Y– собственные и взаимные проводимости, для краткости будем называть их просто проводимостями многополюсника. Матрица J называется матрицей источников многополюсника. Она отличается от нуля только для автономных многополюсников, поэтому ее называют матрицей автономных параметров. Проводимости многополюсника являются неавтономными параметрами.

Из приведенных выше рассуждений следует, что число уравнений многополюсника равно числу источников, которыми можно учесть влияние внешней цепи на многополюсник. Число их меньше числа полюсов на единицу. В частности, для четырехполюсника имеем три уравнения. Соответственно для четырехполюсника имеем 9 неавтономных и три автономных параметра. В общем случае эти параметры независимы друг от друга. Однако в случае обратимого многополюсника только часть параметров является независимой. Действительно, согласно принципу взаимности э.д.с. создает во второй ветви при отсутствии других источников такой же ток , как и э.д.с. в первой ветви, то есть ток . Согласно уравнениям (11.2) и (11.4) получаем . Из равенства э.д.с. и следует, что . В общем случае можно записать, что .

Таким образом, взаимные проводимости, отличающиеся перестановкой индексов, одинаковы, и матрица проводимостей обратимого четырехполюсника симметрична.

Умножив обе части уравнения (11.11) на обратную матрицу , получим

.

Обозначим через

,

тогда предыдущее уравнение преобразуется к виду

.

(11.12)

В результате получаем уравнение многополюсника в форме Z, в котором

– матрица сопротивлений многополюсника;

– матрица источников э.д.с.

Возможны и другие формы уравнений многополюсника. Некоторые из них будут рассмотрены ниже для случая проходного четырехполюсника. Хотя в общем случае n-полюсник характеризуется n – 1 уравнениями, однако в некоторых случаях можно использовать меньшее число уравнений. Примером может служить четырехполюсник, анализируемый по отношению к входу и выходу. Такой четырехполюсник называют проходным. У проходного четырехполюсника выделяют две пары зажимов: входные и выходные. Внешние элементы подключают к входу и выходу таким образом, что между входными и выходными полюсами нет связи во внешней цепи.

В дальнейшем будем рассматривать только проходные четырехполюсники и будем называть их просто четырехполюсниками. Рассмотрим уравнения такого четырехполюсника.