Соединение в звезду без нулевого провода

Рассмотрим случай, когда к трехфазной цепи, соединенной звездой без нулевого провода, приложена несимметричная система линейных напряжений , , (рис. 6.29). Требуется определить токи , ,

Рис. 6.29

. Очевидно, для их определения достаточно знать фазные напряжения нагрузки. Чтобы их определить, воспользуемся законами Кирхгофа:

;	(6.4)

из которых следует:

	(6.5)
	(6.6)

По закону Ома с учетом уравнений (6.4), (6.5) фазные токи:

(6.7)

Подставив значения токов из (6.7) в уравнение (6.4), получим уравнение с одним неизвестным:

,

из которого находим

.

(6.8)

Аналогичным образом можно получить другие фазные напряжения:

; ,

(6.9)

хотя их проще найти по формулам (6.3) и (6.4). По фазным напряжениям легко определить токи.

Нужно отметить, что линейные напряжения задают обычно только по величине (действующие значения). Для определения комплексных значений в этом случае треугольник линейных напряжений располагают на комплексной плоскости таким образом, чтобы один вектор был направлен по оси действительных чисел. После этого из анализа геометрии топографической векторной диаграммы определяют начальные фазы других линейных напряжений.

На топографической диаграмме должно быть указано положение нейтральной точки 0'. Ее положение может быть определено по значению одного из фазных напряжений, например . Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Обрыв фазы в звезде без нулевого провода (рис. 6.30, а). В данном случае положение нулевой точки не определяется генератором, поэтому целесообразно вначале построить диаграмму токов.

Поскольку , то . Фактически сопротивления и обтекаются одним током, но в соответствии с указанными положительными направлениями следует считать, что токи и находятся в противофазе. Их сумма равна нулю (диаграмма на рис. 6.30 , б). При этом

.

а)	б)
в)
Рис. 6.30

Векторная диаграмма напряжений (рис. 6.30 , в)строится по известным линейным напряжениям и заданным проводимостям фаз. Если предположить, что или , то напряжения на фазах нагрузки составляет:

;

.

Напряжение на разомкнутых зажимах

.

2. Рассмотрим другой пример, когда обрыв в фазе C (рис. 6.31,а), а нагрузка фаз имеет разный характер (активное сопротивление и емкость), причем r = x_C = 1 Ом. Линейное напряжение симметричного источника В. Требуется определить фазные напряжения , , .

а)	б)
Рис. 6.31

Примем, что вектор направлен по оси действительных чисел, то есть В, тогда В, В. Проводимости ветвей , , . Согласно формулам (6.6) и (6.7) фазные напряжения определяются выражениями:

В;

В;

Напряжения можно определить из анализа геометрии топографической векторной диаграммы напряжений. Рассчитав сначала токи

А,

построим из точки 0' на плоскости векторы:

В;

В.

Затем строим векторы линейных напряжений. Напряжение определяется как вектор, проведенный из точки 0' в точку C. Его аргумент равен 90°, а модуль – сумме высот верхнего и нижнего треугольников.

3. Короткое замыкание в звезде без нулевого провода. Сначала рассмотрим цепь на рис. 6.32 и определим как изменятся токи симметричной звезды без нулевого провода при коротком замыкании фазы B0', если в симметричном режиме ток был равен I .

	Из схемы видно, что при коротком замыкании фазы B потенциал точки B симметричного генератора подается в точку 0' нагрузки. Напряжения других фаз A и B, а также токи в этих фазах увеличиваются в раз: . Ток короткого замыкания фазы можно определить по векторной диаграмме.
Рис. 6.32

На диаграмме напряжений (рис. 6.33, а) точка 0' смещается в точку B, положение которой жестко задано симметричным источником. Угол между фазными напряжениями и равен 60º. Поскольку углы сдвига в фазах одинаковы, между токами и сохраняется тот же угол 60º (рис. 6.33, б). При сложении токов по первому закону Кирхгофа

а)	б)
Рис. 6.33

вектор оказывается лежащим против угла 120º, поэтому он в раз больше двух других фазных токов:

.

a)	б)
	в)
Рис. 6.34

В несимметричной схеме (рис. 6.34, а) диаграмма напряжений (рис. 6.34, б) сохраняется, но соотношение токов изменится (рис. 6.34, в), при этом ток короткого замыкания оказывается равным по величине токам двух неповрежденных фаз.

Соединение треугольником

Необходимо заметить, что обмотки генераторов не соединяются в треугольник, так как при таком соединении даже незначительная несимметрия фазных э.д.с. приводит к появлению значительных уравнительных токов, что не допустимо по условиям эксплуатации.

В качестве источников, фазные э.д.с. которых соединены в треугольник, можно использовать трехфазный трансформатор с вторичной обмоткой, соединенной в треугольник. Трансформаторы в трехфазных цепях могут иметь не только одинаковые, но и разные схемы соединений магнитосвязанных обмоток.

Разные схемы соединений позволяют согласовать между собой трехфазные системы с различными по величине или (и) фазе напряжениями.

Трехфазная нагрузка, присоединенная к сети, также может быть соединена в треугольник. При несимметричных режимах работы приемника, соединенного в треугольник, фазные и соответственно линейные токи получаются неравными, однако при любой несимметрии сумма комплексных значений линейных токов равна нулю:

.

Задача расчета цепи при несимметричной нагрузке, соединенной в треугольник, решается просто, поскольку по известным линейным напряжениям можно найти фазные токи. После этого по первому закону Кирхгофа определяют линейные токи. Рассмотрим ряд частных случаев.

1.Обрыв фазы в треугольнике (рис. 6.35, а). Топографическая диаграмма напряжений в этом случае (рис. 6.35, б) не деформирована. Структура векторной диаграммы токов точно такая же, как и в симметричном

а)	б)
в)	г)
Рис.6.35

режиме, деформирована лишь форма диаграммы. Из одной точки строится звезда фазных токов (рис. 6.35, в и г). Так как , можно считать, что конец и начало этого вектора находятся в одной точке, а именно в точке, где начинаются все фазные токи. Концы векторов этих фазных токов замыкаются линейными токами , и , направление ориентации которых известно (как в симметричном режиме). Ток направлен во всех вариантах (рис. 6.35, в и г) из конца вектора в конец вектора , ток – из конца вектора в точку расхождения фазных токов и , поскольку в этой точке начинается и заканчивается нулевой вектор тока . Из этой же точки начинается вектор , направленный в конец вектора . Комплексы токов и находятся в противофазе, хотя фактически это один и тот же ток. Это является результатом специфического выбора направлений токов в треугольнике. Токи и физически одинаковы (см. схему на рис. 6.35, а) и изображаются одинаковыми векторами, так как совпадают условные положительные направления токов.

На рис. 6.35, в принято , тогда величина

.

Тупой угол треугольника равен 120°, следовательно, .

На рис. 6.35, г, когда

,

имеем правильный треугольник токов, все токи по величине равны .

2. Обрыв линейного провода в треугольнике (рис. 6.36, а). В данном случае расположение точек топографической диаграммы напряжений нагрузки не определяется генератором. Поэтому диаграммы напряжений и токов следует строить совместно. Порядок построения векторов указан на рис. 6.36, б. Из одной точки строят векторы токов . По ним ориентируются векторы и и определяется на топографической диаграмме положение точек a, A, b≡B и c. Точка C находится в вершине правильного треугольника ABC, векторы , и которого образуют систему прямого следования фаз. По вектору ориентируется ток , начинающийся в той же точке, что и два других фазных тока. Имея звезду фазных токов, вокруг ее концов замыкают линейные токи , и . Так как и концы этих векторов находятся в одной точке, ток оборванной линии на диаграмме равен нулю.

а)	б)
	в)
г)
Рис. 6.36

На рис. 6.36, в в таком порядке построены диаграммы для активной нагрузки . Здесь точка c лежит на середине вектора , так как . Величина равна высоте правильного треугольника генераторных напряжений. Величина в два раза меньше тока , линейные токи составляют . Один и тот же ток представлен на схеме цепи двумя условными положительными направлениями токов, соответственно на диаграмме рис. 6.36, в им соответствуют два вектора ( и ), которые находятся в противофазе.

а)	б)
в)		г)
Рис. 6.37

На рис. 6.37, г построены диаграммы для случая, когда

.

3. Короткое замыкание фазы в примыкающем линейном проводе. Положение всех точек схемы (рис. 6.37 , а) на топографической диаграмме задается напряжениями генератора (рис. 6.37 , б). Причем потенциалы точек C, c, a одинаковы.

Диаграмма токов (рис. 6.37 , в) строится с соблюдением обычных правил, начиная с токов , , , которые могут быть рассчитаны и ориентированы по соответствующим напряжениям. Векторы и строятся из одной точки, а ток – так, чтобы его конец совпадал с концом вектора . Начало вектора определит положение конца вектора , а начало этого вектора совпадает с началом векторов и . Затем структура диаграммы дополняется недостающими токами и . Величины , и можно определить из геометрии диаграммы.

На рис. 6.37, в построена диаграмма токов для . Здесь , . Величина может быть рассчитана по теореме косинусов или определяется длиной вектора диаграммы в соответствующем масштабе.

Рассмотрим случай смешанной нагрузки. Пусть , , при . Из диаграммы на рис. 6.37, г, построенной в том же порядке, следует интересное заключение: вектор , находящийся между концами векторов и , равен нулю. Все остальные токи, кроме тока , по величине одинаковы:

.

	Ток короткозамкнутой фазы находят по теореме косинусов. 4. Определить ток при обрыве линии в заданной схеме (рис. 6.38) с симметричным источником, если задано: ; Ом; . При принятых условных положительных направлениях по закону Ома
Рис. 6.38

А, а

А.

По первому закону Кирхгофа находим токи:

А.

А.

Рис. 6.39

Из диаграммы (рис. 6.39) следует:

	; В. 5. Определить ток при обрыве фазы в заданной схеме (рис. 6.40) с симметричным источником, если задано: . По закону Ома находим токи:
Рис. 6.40

А;

А.

По первому закону Кирхгофа

,

А.

Рис. 6.41

Векторная диаграмма напряжений и токов показана на рис. 6.41.

В приведенных примерах трехфазная цепь рассчитывается, как обыкновенная разветвленная схема. Особенность лишь в том, что используются общепринятые для трехфазных цепей условные положительные направления токов. Этим направлениям соответствует и структура векторных диаграмм.