Симметричные составляющие трехфазной системы

Рассмотренные ранее методы расчета трехфазных цепей применимы при отсутствии в них вращающихся машин (генераторов, двигателей). В генераторах и двигателях обмотки фаз статора и ротора индуктивно связаны между собой, и эта взаимосвязь зависит от положения ротора по отношению к статору, поэтому при появлении несимметрии в токах фаз говорить о сопротивлении фаз затруднительно. Рассмотрим, например, асинхронный двигатель, имеющий три обмотки фаз A, B, C на статоре, питаемые от фазных напряжений , , , и три короткозамкнутые обмотки на роторе (см. рис. 6.58, б).

Напряжение, например, фазы A двигателя может быть определено, как

,

где , , – токи фаз статора; , , – токи фаз ротора. Так как ротор вращается и соответственно меняется взаимное расположение обмоток, то одновременно меняется во времени взаимная индуктивность фазы A с фазами ротора ( , , ).

При симметричном режиме работы по фазам протекают симметричные токи и можно найти эквивалентное сопротивление фаз и провести расчеты. При несимметричном режиме работы, как было отмечено выше, возникают два вращающихся поля (прямое и обратное) и каждому полю соответствуют свои сопротивления. Эквивалентное сопротивление фаз двигателя в этом случае будет зависеть от соотношения прямого и обратного полей и для разных характера и степени несимметрии будет различным, поэтому рассмотренные ранее методы в этом случае не применимы.

Расчет несимметричных режимов работы трехфазной цепи при наличии в ней вращающихся электрических машин проводится с помощью метода симметричных составляющих.

Идея метода симметричных составляющих заключается в том, что любую несимметричную трехфазную систему (э.д.с., токов, напряжений,…) можно представить в виде суммы трех симметричных составляющих: нулевой, прямой и обратной последовательностей. Каждая составляющая содержит три одинаковые по амплитуде и частоте величины.

Рассмотрим для примера источник с несимметричными фазными э.д.с. , , . Ее можно представить в виде суммы трех симметричных составляющих, показанных на рис. 6.59, а: 1) системы прямого следования фаз (рис. 6.59, б); 2) системы обратного следования фаз (рис. 6.59, в); 3) системы нулевого следования фаз (рис. 6.59, г).

Рис. 6.59

Система прямого следования фаз соответствует обычной симметричной системе с порядком следования фаз A, B, C (по часовой стрелке). Для системы обратного следования фаз векторы фаз A, B, C следуют друг за другом против часовой стрелки. В обеих системах векторы сдвинуты относительно друг друга на 120°. Система нулевого следования фаз содержит три одинаковые по модулю и по направлению векторы.

Векторы заданной системы , , получаем, складывая составляющие прямого, обратного и нулевого следования фаз для каждой фазы. Результаты показаны на рис. 6.59, г.

Рис. 6.60

Разложение несимметричной системы э.д.с. можно рассматривать как замену несимметричного источника э.д.с. тремя симметричными источниками прямого, обратного и нулевого следования фаз, включенными последовательно (рис. 6.60).

Комплексные составляющие э.д.с. фаз различных последовательностей связаны между собой соотношениями:

(6.22)

где введено обозначение . Соответственно

, , .

Взаимное расположение и величина векторов симметричных составляющих зависят от вида несимметрии. При этом заданные векторы несимметричной трехфазной системы могут быть выражены через векторы симметричных систем следующим образом:

(6.23)

Решая систему (6.23) относительно , , получаем

(6.24)

Таким образом, для получения составляющей нулевого следования фаз – нужно сложить все три заданные несимметричные векторные величины и взять одну треть от полученной суммы. Для нахождения составляющей прямого следования фаз нужно взять треть суммы, состоящей из вектора плюс вектора , повернутого против часовой стрелки на 120°, и плюс вектора , повернутого на 120° по часовой стрелке. Для вычисления составляющей обратного следования фаз нужно взять треть суммы, состоящей из вектора плюс вектора , повернутого по часовой стрелке на 120°, и плюс вектора , повернутого

а)	б)
Рис. 6.61

на 120° против часовой стрелки. Ниже приведен пример, иллюстрирующий разложение несимметричной системы напряжений на симметричные составляющие.

При соединении вторичных обмоток трансформатора допущена ошибка: перепутаны начало и конец фазы С (рис. 6.61, а). Определить симметричные составляющие получившейся несимметричной системы (рис. 6.61, б) фазных напряжений, если U_ф = 300В.

Аналитическое разложение несимметричной системы:

Рис. 6.62

;

В;

В;

Рис. 6.63

Графическое разложение по тем же формулам приведено на рис. 6.62.

Изобразим три симметричные составляющие системы и произведем их сложение. Получится исходная несимметричная система векторов (рис. 6.63).