Расчет несимметричных режимов трехфазных цепей методом симметричных составляющих

При расчете электрических цепей методом симметричных составляющих используют метод наложения. В соответствии с этим методом

любую схему (с вращающимися машинами и без них) заменяют схемами прямой, обратной и нулевой последовательностей и ведут расчет симметричного режима для каждой схемы в отдельности. Для определения результирующих токов (напряжений) по методу наложения полученные токи (напряжения) суммируют. Как отмечалось выше, возможны два варианта задачи.

1. Расчет симметричной цепи при несимметричной системе приложенных напряжений. Примером может служить цепь с двигателями при питании цепи от несимметричной системы приложенных напряжений. В этом случае выполняют следующее:

1)разлагают несимметричную систему э.д.с. на симметричные составляющие;

2) рассчитывают схему прямого следования фаз при симметричной системе э.д.с. прямого следования фаз;

3) по полученным симметричным составляющим токов на основании принципа наложения находят искомые токи.

2. Расчет несимметричной цепи при симметричной системе приложенных напряжений. Метод симметричных составляющих получил применение для расчета аварийных режимов, когда в результате аварии нарушается симметрия трехфазной цепи при сохранении симметричности источников питания. Примером такой цепи может служить высоковольтная цепь при обрыве одного из ее проводов (продольная несимметрия).

К продольной несимметрии относится также случай, когда в рассечку проводов (одной, двух или трех) включены различные дополнительные сопротивления. Если такие сопротивления включены между линейными и нулевым проводами ( между линейным проводом и землей), то имеем случай поперечной несимметрии. Рассмотрим порядок расчета несимметричного режима таких цепей на конкретных примерах.

Поперечная несимметрия

В симметричной цепи, состоящей из генератора, линии передач и приемника, перед нагрузкой произошло замыкание одного из проводов линии на землю (рис. 6.69). Параметры прямой, обратной и нулевой последовательностей для данной цепи известны. Требуется рассчитать ток короткого замыкания и напряжения и в месте короткого замыкания.

Решение целесообразно проводить в такой последовательности:

1. Несимметричный участок цепи заменим по теореме о компенсации тремя источниками, образующими несимметричный трехфазный источник. Режим цепи при этом не изменяется. Разложим несимметричную систему напряжений компенсирующего источника на симметричные составляющие. Результирующая расчетная схема представлена на рис. 6.70.

Рис. 6.69

Рис. 6.70

2. На основании принципа наложения рассмотрим три режима

В первом режиме действует только симметричная система напряжений прямого следования фаз ( , , ). Система приложенных напряжений также симметрична, поэтому имеем симметричный режим (цепь и система приложенных напряжений симметричны). Для расчета такой цепи выделим одну фазу (удобно взять фазу C) и рассчитаем ее (рис. 6.71). Поскольку система приложенных напряжений симметрична, то , , . Расчет полученной схемы можно произвести на основании метода эквивалентного генератора. Для этого всю схему по отношению к зажимам ab заменим эквивалентным генератором с параметрами и (рис. 6.72).

;

.

Рис. 6.71	Рис. 6.72

На основании второго закона Кирхгофа

.

(6.30)

Во втором режиме действует только э.д.с. обратной последовательности. Схема обратной последовательности для фазы представлена на рис. 6.73. Для этой схемы

.

Рис. 6.73

Расчетное уравнение для схемы обратной последовательности

.

(6.31)

В третьем режиме действует только э.д.с. нулевой последовательности. В схеме нулевой последовательности (рис. 6.74) отсутствует сопротивление нулевой последовательности нагрузки, так как нагрузка соединена в звезду без нулевого провода и нет пути для замыкания токов нулевой последовательности через нагрузку. Иначе схему нулевой последовательности можно представить как соединение эквивалентного сопротивления нулевой последовательности и источника с напряжением (рис. 6.75), где

.

Рис. 6.74	Рис. 6.75

Этой схеме соответствует уравнение

.

(6.32)

В результате разложения несимметричного режима на три симметричных получили три уравнения (6.30), (6.31), (6.32), связывающих напряжение и ток одноименной последовательности на несимметричном участке. Эти уравнения будут аналогичными и для других видов несимметрии (обрывы, другие виды к.з., просто несимметричный приемник). Эти три уравнения содержат 6 неизвестных , , , , , , для определения которых необходимы еще три уравнения, связывающие указанные величины. Такими уравнениями будут уравнения, соответствующие конкретному виду несимметрии.

3. Исходя из конкретного вида несимметрии (рис. 6.76), записываем три недостающие уравнения. Для данного аварийного режима имеем (к.з. фазы C); ; .

Рис. 6.76

Выразим , , через составляющие фазы C:

;	(6.33)
;	(6.34)
.	(6.35)

4. Совместное решение уравнений (6.30) – (6.35) дает симметричные составляющие токов и напряжений фазы, принятой за основную для несимметричного участка.

В данном примере вычтем выражение (6.35) из (6.34) и получим

или . Подставляя в уравнение (6.34) или (6.35) и учитывая, что , будем иметь . Для дальнейшего решения заменим в уравнениях (6.31) и (6.32) и на , затем просуммируем выражения (6.30), (6.31), (6.32). С учетом уравнения (6.33) будем иметь:

;

.

Симметричные составляющие напряжений можно определить из уравнений (6.30), (6.31), (6.32):

; ; .

5. По вычисленным составляющим токов и напряжений несимметричного участка определим токи и напряжения во всех звеньях заданной схемы. Для этого сначала находим распределение токов и напряжений во всех элементах схем прямой, обратной и нулевой последовательностей фазы C из схем, показанных на рисунках 6.73, 6.74, 6.75:

; ;

; ;

.

Затем по составляющим токов фазы, принятой за основную, определяем токи во всех других фазах:

;

;

.

Аналогичные выражения для токов и напряжений можно записать и для других участков схемы.

Продольная несимметрия

Симметричный генератор с известными сопротивлениями , , питает симметричную нагрузку через линию передач с сопротивлениями , . Перед нагрузкой произошел обрыв провода фазы A (рис. 6.77). Определить токи и напряжения цепи.

Рис. 6.77

В месте обрыва фазы A в цепи появился несимметричный участок, который по теореме о компенсации заменим тремя источниками неизвестных напряжений , , (рис. 6.78). Разложим неизвестные напряжения на симметричные составляющие , , и, приняв фазу A за основную, составим схемы прямой (рис. 6.79, а), обратной (рис. 6.79, б) и нулевой последовательностей (рис. 6.79, в).

Рис. 6.78

Для схем (см. рис. 6.79) на основании законов Кирхгофа имеем:

;	(6.36)
;	(6.37)

.	(6.38)
	а)
	б)
	в)
Рис. 6.79

Как и ранее, в трех уравнениях имеем 6 неизвестных. Нужны еще три дополнительные уравнения. Составим их исходя из конкретного вида несимметрии:

;	(6.39)
;	(6.40)
.	(6.41)

Из совместного решения уравнений (6.40) и (6.41) получим

.

(6.42)

Выразив из уравнения (6.39), подставим его в уравнение (6.38). Из совместного решения уравнений (6.36), (6.37), (6.38) с учетом (6.42) получим:

; ; ,

где ; ;

; .

В заключение отметим, что расчет несимметричной цепи при любом виде несимметрии в симметричной системе приложенных напряжений по методу симметричных составляющих сводится к решению системы шести уравнений с шестью неизвестными симметричными составляющими напряжений и токов какой-либо фазы несимметричного участка. Три уравнения составляются на основании законов Кирхгофа и три –для несимметричного участка.

Пример 6.5.Трехфазный двигатель питается несимметричной системой фазных напряжений (рис. 6.80): В, В, В. Сопротивления фазы двигателя для токов прямого, обратного и нулевого следования фаз соответственно составляют: Ом; Ом; Ом. Рассчитать фазные токи.

Рис. 6.80

1. Несимметричная система э.д.с. раскладывается на три симметричных составляющих:

В; В; В.

Вместо несимметричного источника в схему включаются последовательно три трехфазные системы э.д.с.

2. Далее система рассчитывается по методу наложения, где в каждом накладываемом режиме действуют фазные э.д.с. одного порядка следования и в фазах расчетных схем включены сопротивления токам соответствующих последовательностей.

3. Симметричные режимы прямого и обратного следований фаз рассчитывают путем выделения фазы после добавления нулевого провода (рис. 6.82, а и б). В схеме нулевого следования фаз обычно учитывается утроенное сопротивление нулевого провода. В данном случае имеем разрыв между нулевыми точками и схема нулевой последовательности (рис. 6.82, в) не замкнута.

Рис. 6.81
а)	б)	в)
Рис. 6.82

Токи последовательностей:

А;

А; .

В цепи без нулевого провода токи нулевого следования фаз отсутствуют. Между нулевыми точками трансформатора и нагрузки при отсутствии тока нулевого следования фаз наблюдается напряжение

В.

4. По найденным симметричным составляющим тока фазы A записывают искомые фазные токи:

А;

= А; = А.

Сложение составляющих в векторной форме показано на рис. 6.83.

Рис. 6.83

5. Напряжения фаз нагрузки рассчитываются через симметричные составляющие:

и так далее или по второму закону Кирхгофа для результирующих комплексов:

; ; .

Пример 6.6.На зажимах генератора (рис. 6.84), работающего в режиме холостого хода, произошло короткое замыкание. Определить вид короткого замыкания по известным симметричным составляющим токов и напряжений:

	А; В; В; В.
Рис. 6.84

Для ответа на поставленный вопрос нужно по известным симметричным составляющим определить фазные токи и напряжения. На рис. 6.85 приведено их графическое построение.

Рис. 6.85

Численные значения токов и напряжений:

;

А;

;

А;

;

А.

	Поскольку ток наблюдается только в фазе B ( ), а напряжение , следует заключить, что в цепи в режиме холостого хода произошло короткое замыкание фазы на землю.
Рис. 6.86

Пример 6.7.Рассчитать симметричные составляющие токов , , и напряжений , , в цепи на рис. 6.87, если заданы э.д.с. генератора, сопротивления его фаз токам различных последовательностей и сопротивление нейтрали.

Рис. 6.87

1. Сопротивления фазы в симметричных режимах различного следования фаз для схем на рис. 6.88:

; ; .

2. Система уравнений для симметричных составляющих различного следования фазы A:

	– уравнения равновесия выделенной фазы для трех симметричных режимов
	– дополнительные уравнения для несимметричного участка цепи

3. Решение системы. Из уравнений (6.47) и (6.48) имеем . Заменив и в уравнениях (6.44) и (6.45) на , найдем из этих уравнений токи:

, ,

и подставим их в уравнение (6.46). Тогда

,

откуда

.

Рис. 6.88

Теперь из полученных соотношений находим

, и .

Дадим некоторые пояснения к приведенному выше решению. В симметричных режимах прямого и обратного следований фаз ток в нейтральном проводе отсутствует, а напряжение равно нулю, и для выделения фазы сопротивление можно заменить проводом с нулевым сопротивлением (рис. 6.88).

Токи нулевого следования фаз, суммируясь в точке , образуют ток в нейтрали и создают на нейтральном проводе напряжение . Соответственно, в схеме замещения нулевой последовательности включаем сопротивление 3 .

Таким образом, сопротивления для разных последовательностей таковы:

; ; .

Можно сформулировать общее положение. Сопротивление фазы токам прямого (обратного) следования фаз определяется как сумма сопротивлений прямого (обратного) следования участков выбранной фазы. Для токов нулевого следования фаз к сопротивлениям нулевого следования выбранной фазы добавляется утроенное сопротивление нулевого провода. Сопротивления участков со взаимной индуктивностью для токов различного следования фаз определяется индивидуально в зависимости от характера индуктивных связей.

Контрольные вопросы

1. При каких условиях трехфазная система будет симметрична?

2. Что называется уравновешенной трехфазной системой и чему равна мгновенная мощность уравновешенной трехфазной системы?

3. Записать соотношения между линейными и фазными токами и напряжениями при соединении источника и нагрузки в треугольник и звезду в симметричном режиме.

4. Записать мощности в симметричном режиме через линейные и фазные напряжения и токи.

5. Как изменится активная мощность симметричной трехфазной системы, если соединение нагрузки в треугольник пересоединить в звезду?

6. Как изменится активная мощность трехфазной системы, если нагрузку из соединения в звезду пересоединить в треугольник?

7. Сделать развязку индуктивных связей между линейными проводами.

8. Осуществить развязку индуктивных связей при соединении нагрузки в треугольник.

9. Включить необходимое количество ваттметров для измерения активной мощности в трехпроводной трехфазной системе.

10. Включить необходимое количество ваттметров для определения активной мощности в симметричной и несимметричной трехфазной цепях.

11. Как включить один ваттметр для определения активной мощности в трехпроводной трехфазной цепи?

12. Каким образом с помощью двух ваттметров можно определить реактивную мощность в трехпроводной трехфазной цепи в симметричном режиме?

13. Порядок расчета симметричной трехфазной системы при смешанном соединении нагрузок.

14. Порядок расчета четырехпроводной несимметричной трехфазной системы.

15. Порядок расчета трехпроводной несимметричной трехфазной системы.

16. Объяснить назначение нулевого провода в несимметричной трехфазной цепи.

17. При какого типа несимметриях можно использовать метод симметричных составляющих?

18. Записать формулы для определения симметричных составляющих через несимметричную систему напряжений трехфазного источника.

19. Показать на примере графический способ определения симметричных составляющих при заданных несимметричных напряжениях.

20. Почему в трехфазной трехпроводной цепи в линейных токах и напряжениях отсутствуют составляющие нулевой последовательности?

21. Приведите схемы замещения для симметричных составляющих при продольной несимметрии, когда отсутствует и когда имеется нулевой провод.

22. Приведите схемы замещения для симметричных составляющих при поперечной несимметрии, когда отсутствует и когда имеется нулевой провод.