Тема 5. Вибіркове спостереження та перевірка статистичних гіпотез

Міжпредметні та міждисциплінарні зв’язки:теорія ймовірностей та математична статистика, економічна теорія, макроекономіка, мікроекономіка, маркетинг, економетрика.

Мета лекції: з’ясувати чим відрізняються способи повторного та безповторного відбору та способи обчислення граничних помилок при різних способах відбору?

План лекції

1. Суть і переваги вибіркового методу. Генеральна та вибіркова сукупності.

2. Вибіркові оцінки середньої та частки.

3. Визначення обсягу повторної і безповторної випадкової вибірки для оцінки середньої і частки.

4. Розповсюдження результатів вибіркових обстежень на генеральну сукупність.

5. Принципи перевірки гіпотез. Імовірності ризиків помилкових рішень при перевірці гіпотез.

Література[2, с. 129-135; 4, с.81-95].

1. Суть і переваги вибіркового методу. Генеральна та вибіркова сукупності.

Вибіркове спостереженя – такий вид несуцільного спостереження, за якого обстежуються не всі елементи сукупності, що визначається, а лише їх частина відібрана за певними правилами, що дозволяє на підставі вибіркових оцінок отримати дані для характеристики усієї сукупності.

Сукупність методів математичної статистики, що застосовують для обґрунтування та висновків при проведенні вибіркового спостереження, називаютьвибірковим методом.

Сукупність, з якої відбираються елементи для обстеження називається генеральною.

Сукупність, яку безпосередньо обстежують називаютьвибірковою.

Узагальнені показники генеральної сукупності називають генеральними, а вибіркової – вибірковими.

Переваги вибіркового спостереження:

• потребує менше коштів, засобів, часу в порівнянні з суцільними спостереженнями;

• дозволяє більш детально вивчити кожний елемент сукупності;

• забезпечує більш точні результати, ніж за суцільного спостереження, якщо сукупність дуже велика;

• може застосовуватися там, де неможна застосовувати суцільне спостереження(сукупність дуже велика).

Практика використання вибіркового спостереження

• вивчення певного кола соціально-економічних явищ;

• перевірка якості продукції;

• контроль часом суцільного спостереження.

Розбіжності між показниками генеральної та вибіркової сукупності називають помилками репрезентативностіі виникають вони тому, що вибіркова сукупність неточно відтворює склад генеральної сукупності. Для середньої величинипомилка являє собою різницю між генеральними та вибірковими середніми.

• з символами ключа.

		ПОМИЛКИ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТІ
	Випадкові (їх уникнути неможна, виникають внаслідок того, що структура вибіркової сукупності не збігається з структурою генеральної сукупності))

2. Вибіркові оцінки середньої та частки.

Вибіркове спостереження необхідно для обчислення помилок та визначення параметрів їх зменшення. Помилки репрезентативності притаманні лише вибірковому спостереженню . Це обумовлено характером вибіркового спостереження, оскільки як би ретельно не формувалась вибіркова сукупність середні та відносні показники завжди будуть якоюсь мірою відрізнятися від відповідних показників генеральної сукупності. Розміри помилки вибірки пов’язані з ступенем варіювання досліджуваної ознаки

Середнє квадратичне відхилення вибіркових середніх від генеральної середньої називають середньою помилкою вибірку.

Для визначення формул обчислення середньої помилки вводимо умовні позначення для вибіркового спостереження:

показники	Генеральна сукупність	Вибіркова сукупність
Обсяг сукупності	N	n
Середнє значення
Частка одиниць сукупності, що мають певні ознаки	d	p

Залежно від способу відбору обчислення середньої помилки здійснюється за формулами, які представлені у таблиці.

Спосіб відбору	Середня помилка репрезентативності
для середньої величини	Для частки
Повторний
безповторний

Середня помилка вибірки показує можливість відхилення характеристик вибіркової сукупності від характеристик генеральної сукупності. Але при проведенні вибіркового дослідження необхідно визначати можливі межи, за які не вийде величина помилки. Стверджувати, що відхилення не перевищать певної величини можливо з деякою імовірністю. Рівень імовірності, що приймається при визначені меж називають довірчим рівнем імовірності.

Помилка вибірки, що обчислена з імовірністю більш ніж 0,683, називається у статистиці граничною і обчислюється за формулою: ,

де - гранична помилка, t – коефіцієнт довіри.

Значення коефіцієнту довіри тісно пов’язані з імовірністю, з якою здійснюють припущення, а саме: t=1, тоді P=0,683; t=2, тоді P=0,954; t=3, тоді P=0,997; t=4, тоді P=0,999.

При організації вибіркового спостереження необхідно визначити обсяг вибіркової сукупності, при якої межі можливої помилки не перевищать деякої заздалегідь визначеної величини.

Формули визначення обсягу вибірки отримують з формул граничної помилки для кожного з видів відбору елементів вибіркової сукупності.

Визначення обсягу вибірки:

• для повторного відбору ;

• для безповторного відбору .

4. Розповсюдження результатів вибіркових обстежень на генеральну сукупність.

Різновиди вибірок залежать від способу формування вибіркової сукупності

• простий випадковий;

• механічний;

• розшарований;

• серійний.

Простий випадковий відбірпроводиться жеребкуванням або на основі таблиць випадкових чисел. Це класичний спосіб формування вибіркової послідовності.

Механічний відбір –передбачає упорядкування одиниць генеральної сукупності, тобто вибір одиниць здійснюється через рівні інтервали. Крок інтервалу дорівнює . Початковий елемент – це випадкове число в середині першого інтервалу, другий через крок інтервалу. Помилки механічної вибірки обчислюють за формулами безповторної.

Розшарований відбір –це спосіб формування вибірки з урахуванням структури генеральної сукупності. Здійснення відбору за етапами:

1. Розподіл генеральної сукупності на однорідні групи.

2. Вибір з кожної групи елементів пропорційну питомій вазі групи в сукупності.

Серійний відбір– це спосіб формування вибірки, при якому вибирають серії одиниць сукупності, що розглядаються як одне ціле.

Оцінка невідомого параметра генеральної сукупності може бути проведена або за допомогою одного числа (точкова оцінка), або за допомогою інтервалу, в якому з заданою імовірністю може знаходитися параметр – інтервальна оцінка.

Інтервальна оцінка – визначена двома числами – кінцями інтервалу, в якому з певною імовірністю визначають параметр. Довірчим інтервалом для відповідного параметру, називають такий інтервал, відносно якого можна з певною імовірністю стверджувати, що він містить невідоме значення параметра. Довірчі інтервали (межі) для середнього та частки генеральної сукупності обчислюють за наступними формулами:

.

5. Принципи перевірки гіпотез. Імовірності ризиків помилкових рішень при перевірці гіпотез.

Статистична гіпотеза – це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке можна перевірити за даними вибіркового спостереження.

Гіпотеза, яку належить перевірити, сформулюється як відсутність розбіжностей між параметром генеральної сукупності G і заданою величиною А - нульова гіпотеза. Кожній нульовий гіпотезі протиставляють альтернативну гіпотезу, яка заперечує нульовій.

Мета перевірки гіпотези – це встановлення узгодження даних спостережень з висунутою гіпотезою.

Статистичний критерій – це правило, за яким нульова гіпотеза відхиляється або не відхиляється.

Якщо вибіркове значення , нульова гіпотеза не відхиляється, в протилежному випадку відхиляється.

Неправильне рішення може бути прийнята у двох випадках. В зв’язку з цим розрізняють помилки двох родів. Помилка першого роду полягає в тому, що нульова гіпотеза відхиляється, хоча вона є правильною. Помилка другого роду полягає в тому, що приймається нульова гіпотеза, хоча насправді правильною є альтернативна гіпотеза.

Імовірність ризику відхилення правильної нульової гіпотези (допущення помилки першого роду) називають рівнем істотності . Значення статистичної характеристики критичним значенням .

Перевірка цієї статистичної гіпотези передбачає виконання таких етапів:

1. Оцінка вихідної інформації та опис статистичної моделі.

2. Формулювання нульової та альтернативної гіпотез.

3. Встановлення рівня істотності.

4. Вибір критерію для перевірки нульової гіпотезу.

5. Обчислення фактичного значення критерію.

6. Зіставлення табличного та фактичного значення критерію.

Питання для самоконтролю:

1. Сутність вибіркового спостереження.

2. У чому переваги вибіркового спостереження в порівнянні з суцільним спостереженням.

3. Дайте означення помилкам репрезентативності.

4. Які існують види помилок репрезентативності?

5. Чим відрізняється безповторний відбір від повторного?

6. Які види відбору Вам відомі?

7. За допомогою яких формул обчислюють граничну формулу вибірки?

8. За допомогою яких формул обчислюють обсяг вибірки?

9. За допомогою яких формул обчислюють стандартну формулу вибірки?

10. Дайте означення нульової та альтернативної гіпотез?