Производная скалярного поля по направлению. Градиент

Пусть - скалярное поле, заданное в некоторой области пространства , - некоторая внутренняя точка области , а - единичный вектор. Рассмотрим уравнение , прямой линии, проходящей через точку в направлении вектора . Если достаточно мало, то отрезок

,

рассматриваемой прямой будет находиться в области . Тогда в точках этого отрезка скалярное поле будет представлять собой функцию переменного . Производная этой функции в точке называется производной скалярного поля по направлениювектора в точке и обозначается так . Таким образом, согласно определению,

.

С другой стороны, производная функции вида по параметру вычисляется по формуле (2.6). Полагая , приходим к равенству

. (2.7)

Пусть - угол между векторами и . Тогда, по определению скалярного произведения, . Следовательно, производная скалярного поля по направлению вектора , вычисляемая в точке , выражается формулой

(2.8)

Меняя направление вектора , нетрудно видеть, что максимальное значение производная по направлению этого вектора в точке принимает тогда, когда угол оказывается равным нулю, т.е. когда направления векторов и совпадают. При этом максимальное значение производной равно .

По своему физическому смыслу производная скалярного поля по направлению единичного вектора есть скорость изменения скалярного поля в заданном направлении. Формула (2.8) показывает, что вектор производной скалярного поля в точке имеет направление, в котором скалярное поле возрастает быстрее всего, а его длина равна наибольшей скорости возрастания скалярного поля, начиная со значения в точке .

Пусть в пространстве заданы криволинейные координаты , порождающие в каждой его точке ортогональную систему координат:

, . (2.9)

Тогда скалярное поле можно рассматривать как сложную функцию

.

Разложим вектор по ортогональному базису (2.9). Вычисляя его проекцию на произвольный базисный вектор, согласно (2.7), получим

.

Следовательно, разложение вектора производной скалярного поля по криволинейной, ортогональной системе координат дается следующей формулой:

. (2.10)

Рассмотрим теперь формулу (2.6) дифференцирования скалярного поля по параметру. Взяв в качестве параметра какую-либо из координат , с учетом (2.7) и (1.36) получим

, . (2.11)

Из равенств (2.11) следует, что производные скалярного поля по направлениям координатных векторов выражаются через производные скалярного поля по соответствующим координатам по следующим формулам:

, . (2.12)

Заменяя в (2.10) производные скалярного поля по направлениям координатных векторов их выражениями согласно (2.12), приходим к следующей формуле, представляющей разложение производной скалярного поля как вектор-функции криволинейных координат по соответствующей криволинейной ортогональной системе координат:

. (2.13)

Сравнивая равенство (2.13) с формулой (1.24), определяющей разложение градиента функции переменных по координатным векторам , приходим к равенству

. (2.14)

Поскольку левая часть этого равенства зависит лишь от точки и никак не связана с какими-либо криволинейными координатами, его можно рассматривать как определение понятия градиента скалярного поля в точке . Таким образом, по определению, градиент скалярного поля в точке есть вектор производной рассматриваемого скалярного поля в этой точке. С учетом равенства (2.14) формула (2.7) может быть записана в виде

.

Следовательно, по своему физическому смыслу градиент - это вектор, имеющий направление, в котором скалярное поле возрастает быстрее всего, а его длина есть наибольшая скорость возрастания скалярного поля.

Равенство (2.14) показывает, что приведенное выше определение градиента скалярного поля согласуется с ранее введенным понятием градиента функции криволинейных координат. Следовательно, все ранее полученные формулы, выражающие разложение градиента функции криволинейных координат по координатным векторам, можно рассматривать как формулы, выражающие разложение градиента скалярного поля по криволинейным системам координат. Таким образом, разложение градиента скалярного поля по декартовой, цилиндрической и сферической системам координат выражается соответственно следующими формулами:

.

.

.

Векторные поля.