Определение и основные свойства линейного интеграла

Рассмотрим в пространстве некоторую кривую , имеющую уравнение , . Выбрав для параметра какое-нибудь направление обхода отрезка (от к или наоборот), мы тем самым определим направление обхода кривой (от точки к точке или наоборот). Направление обхода параметра от к будет записываться так , а от к - так . Кривая, на которой выбрано направление обхода, называется путем.

Пусть в области пространства , где определено непрерывное векторное поле , задан некоторый гладкий путь , для которого - начальная, а - конечная точки. Путь можно рассматривать как траекторию движения материальной точки, которая испытывает на себе действие силы . Поставим задачу найти работу, совершаемую переменной силой по перенесению материальной точки вдоль указанного пути.

Рассмотрим сначала частный случай, когда вектор силы, действующий на материальную точку, постоянный , а путь – прямолинейный. В этом случае путь задается вектором перемещения и, как известно, работа , совершаемая силой , вычисляется по формуле .

В общем случае сила переменная, а путь криволинейный, так что приведенная выше формула не годится. Однако, если ограничиться малым участком пути, соединяющем две его точки и , то можно заметить, что в пределах этого участка вектор силы (изменяясь непрерывно) мало отличается от постоянного, а сам участок (будучи гладким) мало отличается от прямолинейного. Поэтому, если - произвольная точка на выбранном участке пути, то работа переменной силы на нем приближенно выражается формулой . При этом полученное приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше длина выбранного участка пути. Теперь ясно, что для приближенного вычисления работы, совершаемой силой на всем пути, нужно разбить путь на достаточно малые участки, вычислить приближенно работу на каждом из них, а затем просуммировать полученные значения по всем участкам.

Итак, пусть векторное поле непрерывно в точках пути , а сам путь является гладким. Разобьем путь на достаточно малые части посредством некоторого разбиения и выберем на каждом из участков некоторую точку , . Положим и пусть . Величина , называемая рангом разбиения , служит показателем того, на сколько данное разбиение является мелким. Согласно сказанному выше, работа, совершаемая переменной силой на -том участке пути приближенно равна . Суммируя, приходим к приближенному равенству

. (3.1)

Исходя из представлений о непрерывности векторного поля и гладкости пути , можно сделать вывод, что погрешность приближенного равенства (3.1) должна стремиться к нулю в процессе дробления пути на все более мелкие части, когда . Следовательно, точное значение работы выражается равенством

. (3.2)

Если внимательно посмотреть на правую часть приближенного равенства (3.1), то можно сделать вывод, что она имеет конструкцию интегральной суммы. Подобные конструкции сумм возникали при решении задач, приводящих к понятиям определенного, криволинейного и др. интегралов. В каждом из этих случаев тот или иной интеграл определялся как предел интегральной суммы когда ранг разбиения соответствующего геометрического объекта стремился к нулю. Поэтому естественно правую часть равенства (3.2) записать в виде интеграла. Он носит название линейного интеграла в векторном поле по пути и обозначается так . Итак, согласно определению

.

Равенство (3.2) теперь может быть переписано так

. (3.3)

Формула (3.3) выражает механический смысл линейного интеграла в векторном поле по пути как работу, совершаемую этим полем по перенесению материальной точки вдоль указанного пути.

Из определения рассматриваемого интеграла легко вытекают следующие его свойства:

Линейность. Если векторное поле является линейной комбинацией двух других векторных полей , то справедливо равенство

.

Аддитивность. Если путь разбит на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то справедливо равенство

.

Антисимметричность. Пусть путь имеет параметризацию , . Путь , имеющий параметризацию , называется противоположным пути , очевидно, путь отличается от пути лишь направлением обхода. Из определения линейного интеграла легко следует, что изменение направления обхода пути приводит к изменению знака интеграла, т.е. справедливо следующее равенство

.

Формула сведения к определенному интегралу. Пусть - гладкий путь, имеющий параметризацию , . Тогда справедливо равенство

. (3.4)

Представление линейного интеграла в декартовых координатах. Пусть в пространстве заданы декартовы координаты . Представляя векторы и в декартовых координатах:

,

и вычисляя их скалярное произведение, приходим к следующей форме записи линейного интеграла в векторном поле

.

Представляя также в декартовых координатах параметрическое уравнение пути :

,

приходим к формуле сведения линейного интеграла в векторном поле к определенному интегралу, записанной в декартовых координатах:

.