Вычисление циркуляции дифференцируемого векторного поля по границе ориентированной поверхности

Рассмотрим теперь произвольное векторное поле , определенное и дифференцируемое на некоторой ориентированной поверхности , границей которой служит кусочно-гладкий путь , направление обхода которого согласовано с ориентацией поверхности . Поставим задачу вычислить циркуляцию .

Разобьем поверхность на достаточно большое число малых частей. Пусть это будет разбиение . Обозначим через границу поверхности , направление обхода которой согласовано с ориентацией этой поверхности, унаследованной от поверхности , а через - площадь поверхности . Пусть - наибольший из диаметров частичных поверхностей. Величина называется рангом разбиения поверхности и служит показателем того, насколько мелким это разбиение является. Выберем на каждой из частичных поверхностей точку , . Согласно свойству аддитивности циркуляции векторного поля, (см. (4.3)) справедливо равенство

. (4.19)

Следовательно, вычисление циркуляции по границе всей поверхности сводится к вычислению циркуляций по границам ее частей, которые можно считать сколь угодно малыми по своим размерам. Рассмотрим какой-нибудь из интегралов , и представим переменную интегрирования в виде . Поскольку точка находится на границе поверхности , а , можно считать, что вектор имеет сколь угодно малую длину. По условию, векторное поле дифференцируемо во всех точках поверхности , в том числе в точке , так что справедливо приближенное равенство

. (4.20)

Выберем в пространстве некоторое начало отсчета и положим , ; тогда . Поскольку производная векторного поля есть линейный оператор, справедливо равенство . Следовательно, равенство (4.20) можно переписать так

, (4.21)

где - постоянный вектор. Пусть - какая-нибудь декартова система координат, а - разложение вектора . Тогда, очевидно, справедливо равенство , где - скалярное поле, представленное функцией в рассматриваемой декартовой системе координат. Таким образом, постоянное векторное поле потенциально, так что циркуляция такого поля по любому замкнутому пути равна нулю. С учетом сказанного приходим к равенству

, (4.22)

причем относительная погрешность приближенного равенства будет сколь угодно малой при достаточно малых размерах поверхности .

Рассмотрим интеграл в правой части равенства (4.22). Для заданного начала отсчета , при выполнении условия , он представляет собой циркуляцию линейного векторного поля по границе ориентированной поверхности . Поскольку поверхность ориентирована, в каждой ее точке определен вектор нормали , который меняется непрерывно при переходе из одной точки в другую. Поэтому при достаточно малых размерах поверхности справедливо приближенное равенство , , погрешность которого может считаться сколь угодно малой. Другими словами, при достаточно малых размерах поверхность может рассматриваться как плоская и, следовательно, согласно формуле (4.18), справедливо приближенное равенство

,

где . Учитывая (4.20), приходим к приближенному равенству

,

погрешность которого будет сколь угодно малой при достаточно малых размерах поверхности . Полагая, как и выше, , получаем

. (4.23)

С учетом формулы (4.23) равенство (4.19) представляется в виде

.

Продолжая процесс дробления поверхности на все более мелкие части и следя за тем, чтобы ранг разбиения стремился к нулю, в пределе получаем точное равенство

. (4.24)

Как мы знаем, ротор векторного поля по определению есть ротор матрицы его производной. Если матрица производной в рассматриваемом базисе имеет компоненты , , то, как уже говорилось, ее ротор вычисляется по формуле

.

Пусть - некоторая декартова система координат в пространстве , а - координаты векторного поля в базисе . Тогда, согласно (2.13), матрица производной векторного поля в рассматриваемом базисе выражается формулой

.

Отсюда следует, что ротор векторного поля в декартовых координатах выражается формулой