Комплексный вектор Пойнтинга (вывод уравнения, объяснить слагаемые)

Комплексный вектор Пойнтинга определяется выражением

Здесь знак "+" соответствует случаю нормальной поляри­зации, а знак "-" - параллельной поляризации. Постоянная у в зависимости от типа поляризации падающей волны равна ‌или Из (7.35) следует, что комп­лексный вектор Пойнтинга имеет две составляющие П_х и П_Z, сдвинутые по фазе на π/2.

Среднее значение вектора Пой­нтинга

Следовательно, в среднем эне­ргия распространяется только в на­правлении оси Z, т.е. вдоль пове­рхности раздела. В направлении, пе­рпендикулярном поверхности разде­ла, существует только реактивный поток энергии.

Имеется бесчисленное множество плоскостей, перпендику­лярных оси X, на которых касательная к ним составляющая напряженности электрического поля (Е_ув случае нормальной и Е_г в случае параллельной поляризаций) и нормальная составляющая напряженности магнитного поля тождественно равны нулю (см. рис.7.6). Точки пересечения этих плоскостей с осью Xопреде­ляются из уравненияcos (_k1xcosφ+ψ/2)=0 где ψравно ψ_┴или ψ_║в зависимости от поляризации волны. Например, в случае нормальной поляризации

На таких плоскостях (см. рис.7.6) векторы Е и Н автома­тически удовлетворяют условиям, эквивалентным граничным условиям на поверхности идеально проводящего металла. Кроме того, поток энергии (как активный, так и реактивный) через эти плоскости тождественно равен нулю (П_X=0). Это означает, в частности, что, если бы одна из этих плоскостей (например, х = х_nдействительно была идеально проводящей, то структура поля над этой плоскостью, т.е. при х_n> х >-∞, осталась бы прежней.

Средняя скорость распространения энергии направлена вдоль оси Z. Для ее определения выделим в поле рассматриваемой волны энергетическую трубку (см.1.8.5), через боковую поверх­ность которой поток энергии в любой момент времени равен нулю. Например, в случае нормальной поляризации в качестве такой трубки можно выделить объем, заключенный между двумя сосед­ними плоскостями, которые определяются уравнением (7.37). Этот объем может быть произвольно протяженным вдоль оси У. Так как в пределах поперечного сечения этой трубки значения вектора Пойнтинга Пи объемной плотности электромагнитной энергии wзависят от переменной х, то для вычисления скорости переноса энергии нужно воспользоваться формулой (1.161). При этом по­лучим

где П_ср и w_cp- средние за период значения вектора Пи w соответственно. Вычисляя входящие в это выражение интегралы, получаем

Таким образом, скорость распространения энергии меньше скорости света в первой среде.

Из формул (7.30) и (7.39) следует, что произведение фазовой скорости на скорость распространения энергии равно квадрату скорости света в первой среде:

V_ф V_Э=1/ε₁μ₁=С²₁ (7.40)

Перейдем к анализу свойств поля, возникающего во второй среде. В случае нормальной поляризации векторы и определяются формулами (7.9). Так как при полном отражении от границы раздела двух диэлектриков cos θ является мнимой величиной, удобно ввести обозначение

Формулы для поля параллельно поляризованной волны за­писываются аналогично и могут быть получены из выражений (7.43) на основе перестановочной двойственности уравнений Максвелла.

Из формул (7.43) следует, что во второй среде электро­магнитное поле имеет структуру плоской неоднородной волны, распространяющейся вдоль оси Z. Поверхности равной фазы (z = const) и равной амплитуды (х = const) взаимно перпен­дикулярны. Фазовая скорость и длина волны Λ = λ_zтакие же, как в первой среде, и определяются формулами (7.30) и (7.32) соот­ветственно. Имеются продольные составляющие векторов поля (H_zв случае нормальной поляризации и E_zв случае параллельной поляризации). Продольные составляющие сдвинуты по фазе от­носительно поперечных на π/2.

Вектор Пойнтинга имеет две составляющие П_zи /7_z. При этом составляющая /7_zявляется вещественной, а составляющая

5 Векторный и скалярный электродинамические потенциалы (определение, назначение).