Собственная добротность закрытых резонаторов

Собственная добротность произвольного резонатора, как сле­дует из (11.12), зависит от Q_мет, Q_Д и О_рад. В закрытых резонаторах радиационные потери отсутствуют, поэтому

то из (11.11) следует, что

Аналогично можно показать, что добротность, обусловленная

магнитными потерями, равна отношению μ'/μ". Добротность Q_A

резонатора, заполненного веществом с параметрами ε = ε'-iε"и

μ= μ- iμ", находится из формулы

Связь между добротностью объемного резонатора и длительностью процесса свободных колебаний в нем

При наличии потерь свободные электромагнитные колебания в резонаторах должны быть затухающими. Чем выше собственная добротность резонатора, тем меньше потери в нем и тем дольше свободные колебания сохраняют заметную амплитуду. В соот­ветствии с формулой (1.120) для закрытого резонатора при на­личии джоулевых потерь должно выполняться соотношение

dW/dt=-PП. (11.19)

Очевидно, что в случае монохроматических колебаний мгно­венные значения РП и W связаны, как и средние значения этих ве­личин, равенством

P_П=ω_QW/Q. (11.20)

Подставляя (11.20) в (11.19) и интегрируя, получаем

W=W_oexp(-ω_Qt/Q), (11.21)

где W_o - начальный запас энергии в резонаторе при t = 0.

Как видно из (11.21), запас энергии в резонаторе с потерями экспоненциально убывает. За время, равное t≈ 0,75 Q/f_Oi энергия, запасенная в резонаторе, уменьшится в 100 раз. Если Q= 10⁴ и fo= 1000 МГц, то t = 7,5 мкс, что свидетельствует о весьма быстром затухании свободных колебаний даже в высокодобротных резона­торах. Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в резо­наторы вводят постоянно восполняющие потери сторонние источ­ники. При этом резонатор уже работает в режиме вынужденных, а не свободных колебаний.

В момент подключения стороннего источника резонатору со­общается некоторый начальный запас энергии, что влечет за со­бой возникновение свободных колебаний, рассмотренных в 11.1.2. Свободные колебания, как было показано выше, при наличии по­терь в резонаторе весьма быстро затухают, аэлектромагнитные колебания с частотой источника, т.е. вынужденные колебания, поддерживаются за счет энергии последнего. Поэтому уже через небольшой интервал времени после включения стороннего ис­точника частота электромагнитных колебаний в резонаторе прак­тически не отличается от частоты электромагнитных колебаний стороннего источника. Согласно (11.21) длительность периода установления стационарного режима тем больше, чем выше доб­ротность объемного резонатора и ниже частота электромагнитных колебаний.

Возбуждение электромагнитных колебаний в объемных резо­наторах и вывод энергии из них основаны на тех же принципах, что и в линиях передачи (см.. гл.12).

Коаксиальный резонатор

Коаксиальный резонатор представляет собой отрезок коак­сиальной линии, замкнутый с обоих концов проводящими пла­стинками. Поперечные размеры коаксиального резонатора, так же как и поперечные размеры коаксиальной линии, выбираются в соответствии с (10.55), что обеспечивает отсутствие резонансов высших типов волн. Резонансная длина волны определяется выражением (11.25), откуда следует, что длина коаксиального резонатора l = рλ_Ор/2. Структура электрического и магнитного полей, а также эпюры, показывающие распределение этих полей вдоль полуволнового резонатора, изображены на рис.11.5.

Как уже отмечалось (см. 11.1.2), векторы Е и Н в объемном резонаторе сдвинуты по фазе на π/2. Если в какой-то момент времени, например t=0, электрическое поле обращается в нуль, то магнитное поле в этот момент времени имеет экстремум. Через четверть периода (t= T/4) электри­ческое поле достигает экстремума, а магнитное обращается в нуль. Струк­тура поля, показанная на рис.11.5, соответствует некоторому промежу­точному моменту времени, когда от­личны от нуля и электрическое, и магнитное поля.

Определим собственную доброт­ность коаксиального резонатора, пред­полагая, что он заполнен диэлект­риком без потерь. Вектор напряжен­ности магнитного поля в резонаторе, как и в коаксиальной линии, имеет одну φ-ю составляющую, равную

Как показывает численный расчет по формуле (11.27), у коаксиальных резонаторов из меди собственная добротность на волнах до 10 см может достигать нескольких тысяч и быстро падает по мере уменьшения резонансной длины волны.

Коаксиальные резонаторы широко применяют в качестве волномеров, колебательных контуров в радиопередающих устрой­ствах, в фильтрах и других приборах.

Прямоугольный резонатор

Прямоугольный резонатор представ­ляет собой отрезок прямоугольного вол­новода, замкнутый с обоих концов прово­дящими пластинами (рис.11.8). Резона­нсная длина волны колебаний Е_тпр и Н_тпр, в таком резонаторе определяется из фор­мулы (11.24), которая после подстановки в нее выражения (10.12) принимает вид

У волны Е_тпр ни индекс т, ни индекс п не может быть равен нулю, поскольку существование волн Е_о„ и Е_т0 в прямоугольном волноводе невозможно. У волн Н_тпр только один из индексов т или п может быть нулевым. Значение индекса р, равное нулю, допустимо для волн Е_тпр и невозможно для волн Н_тпр (см. выше).Следовательно, в формуле (11.28) независимо от типа волны только один из трех индексов т, п или р может обращаться в нуль.

Низшее (основное) колебание имеет наибольшую резонан­сную длину волны. В прямоугольном резонаторе основным ко­лебанием при b < а и b < l является H₁₀₁, при а < b и а < l – H₀₁₁, a при l<a и l<b- Е₁₁₀. Обычно наименьшим размером является b.

Поэтому наиболее часто используется колебание Н₁₀₁. Структура электромагнитного поля этого колебания в некоторый момент времени 0 < t <T/4 показана на рис.11.9.

Собственная добротность резонатора с колебанием Н_ш мо­жет быть определена из формулы (11.16). Выполнив необходимые преобразования, получаем

Как показывает расчет, собственная добротность, прямо­угольного резонатора достигает десятков тысяч в сантиметровом диапазоне волн.

Цилиндрический резонатор

Цилиндрический резонатор представляет собой отрезок кру­глого волновода, замкнутый с обоих концов проводящими пла­стинами (рис.11.10). Резонансная длина волны колебаний в цилиндрическом резонаторе определяется из формулы (11.24) и равна для волн Е_тпр (р ≥ 0)

- корни функций Бесселя и их производных (см. 10.3).

Как видно из формул (11.30) и (11.31), основным колебанием в цилиндрическом резонаторе в зависимости от отношения l/а может быть либо Е₀₁₀, либо H₁₁₁. У колебания E₀₁₀ резонансная длина волны не зависит от lи равна У колебания

Так как не зависит от l, то резонатор, рассчитанный на это колебание, может иметь весьма небольшие габариты.

При анализе распространения волны Н₀₁в круглом волноводе было показано, что при достаточно большом диаметре волновода можно добиться весьма малых потерь. Поэтому резонатор, в котором укладывается одна или несколько полуволн колебания Н₀₁, должен обладать чрезвычайно высокой добротностью. Действительно ,

как показывает расчет по формуле (11.34), собст­венная добротность резонатора с волной H_ori достигает сотен тысяч. При столь высокой добротности полоса пропускания резо­натора на частоте 10000 МГц не превышает 100 кГц. Это позво­ляет использовать резонатор с волной H₀₁₁ в качестве высоко­точного волномера.

Чтобы иметь возможность перестраивать резонатор с одной частоты на другую, одна из короткозамыкающих металлических пластин выполняется в виде подвижного поршня (рис.11.14). По мере движения поршня меняется длина резонатора, что влечет за собой изменение его резонансной длины волны. Как видно из рис.11.14, поршень не касается стенок резонатора, т.е. электрический контакт между порш­нем и стенками резонатора отсутствует. Объясняется это стремлением подавить колебание Е₁₁₁, у которого та же резонансная длина волны, что и у Н_о11. Волна Но₁, в круглом волноводе и, следовательно, колебание Н₀₁₁ в резонаторе возбуждают на стенках только поперечные токи (j_z=O). Поэтому небольшой зазор между поршнем и стенками резонатора вполне допустим и практически не влияет на электрические характеристики резонатора. В то же время зазор является препятствием для продольных токов волны E₁₁₁ и делает невозможным резонанс этого колебания.

Следует отметить, что реальные значения Qo несколько меньше расчетных.

33 Проходной резанатор