Главная Обратная связь Дисциплины:
Архитектура (936)
|
Обчислити визначники згідно з означенням
Обчислити визначники за теоремою про розклад Знайти алгебраїчні доповнення для елементів поданих визначників, перевіряючи їх вірність за допомогою теореми розкладу та теореми анулювання. Значення алгебраїчних доповнень записати у вигляді таблиць (матриць). Спростити вирази Розв’язати рівняння Користуючись властивостями визначників спростити вирази:: 12. . 13. . 14. . 15. . Користуючись лише властивостями визначника (не розгортаючи їх), розв’язати рівняння: 16. . 17. Довести рівність 18. Відповіді 12. . Вказівка. Відняти останній стовпець від перших двох. 13. . Вказівка. Відняти від першого стовпця другий, а від другого третій. 14. . Вказівка. Відняти від першого рядка другий, від другого третій. 15. . Вказівка. До третього стовпця додати другий. 16. . 17. .
Розв’язування систем трьох лінійних рівнянь за формулами Крамера. Однорідні системи
Нехай задана система з якої необхідно знайти при відомих інших елементах. Складемо визначник системи із коефіцієнтів при невідомих Домножимо почленно кожне з рівнянь відповідно на - алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця (коефіцієнтів при х) і додамо всі три рівності. Отримаємо: За теоремою про розклад коефіцієнт при х дорівнює . Коефіцієнти при будуть рівними нулю за теоремою анулювання. Права частина рівності за теоремою про заміщення дає новий визначник, який називають допоміжним і позначають Після цього остання рівність запишеться (2) Для знаходження домножимо кожне з рівнянь початкової системи в першому випадку відповідно на в другому - на і додамо. В наслідок перетворень отримаємо: де Якщо , то в результаті отримуємо формули Крамера: Окремим випадком системи (1) є однорідна система (3) Серед розв’язків однорідної системи можуть бути як нульові розв’язки , так і розв’язки відмінні від нуля. Теорема 1. Якщо визначник однорідної системи (3) відмінний від нуля ( ), то така система має тільки нульовий розв’язок. Дійсно, за властивістю 4 в 1.3. допоміжні визначники , як такі, що містять нульовий стовпець, тому за формулами Крамера . Теорема 2. Якщо однорідна система має відмінний від нуля розв’язок, то її визначник необхідно дорівнює нулю . Дійсно, нехай одне з невідомих, наприклад х, відмінне від нуля. Згідно з однорідністю . Рівність (2) запишеться . Звідки випливає, що . Приклад. За формулами Крамера розв’язати систему Розв’язання. Знаходимо визначники, причому можна знаходити іх різними способами, Перевірка. Відповідь: Приклади. За формулами Крамера розв’язати системи рівнянь, у відповідь записати суму коренів.
Відповіді: 1. 8; 2. –2; 3.–6; 4. –2.
Визначники вищих порядків
Розглянемо записаний спочатку формально визначник 4-го порядку: Викреслюючи в і-тий рядок і j-тий стовпець, на перетині яких міститься елемент , отримаємо визначник 3-го порядку, який називається мінором елемента і позначається . Тоді - алгебраїчне доповнення елемента . Визначник 4-го порядку, можна означити, як розклад за елементами, наприклад, першого стовпця Нехай введено поняття визначника -го порядку, тоді визначник -го порядку: можна зобразити, як розклад за елементами першого стовпця: де - алгебраїчні доповнення, а - мінори елементів першого стовпця. Останні є визначниками -го порядку. Зауваження. Всі властивості 1-8, а також теореми розглянуті для визначників 3-го порядку поширюються і на визначники вищих порядків. Приклад. Обчислити визначник . Розв'язання. Спочатку за допомогою властивості 8 із 1.3 перетворимо в нулі елементи 1-го стовпця, які належать до 2-го 3-го і 4-го рядків. Для цього додамо відповідні елементи 1-го і 2-го рядків. На місці елемента а21 отримаємо 0 (1+(-1)), а22=-2+3=1, а23=(-1)+(-1)=-2, а24=3+(-1)=2. Щоб отримати 0 в 3-му рядку 1-го стовпця, домножимо на (-3) елементи 1-го рядка і додамо до відповідних елементів 3-го рядка: а31=1•(-3)+3=0, а32=(-2)(-3)+(-8)=-2, а33=(-1)(-3)+7=10, а34=3•(-3)+7=-2. Домножимо елементи 1-го рядка на (-2) і додамо до відповідних елементів 4-го рядка. Маємо а41=1•(-2)+2=0, а42=(-2)•(-2)+1=5, а43=(-1)(-2)+(-10)=-8, а44=3(-2)+17=11. Початковий визначник ∆ внаслідок зроблених перетворень має вигляд: = . Далі розкладаємо останній визначник за елементами 1-го стовпця. Оскільки а11=1, а решта елементів 1-го стовпця нулі, то отримаємо один визначник 3-го порядку, до якого теж в подальшому застосуємо аналогічні перетворення. В результаті запишемо: Зауваження. Виконані перетворення в нулі елементів 1-го стовпця, що відносились до 2-го – 4-го рядків, є по суті застосуванням правила прямокутника(див. в 1.1 ) при перетворенні 2-го – 4-го рядків початкового визначника з провідним елементом 1(1-й рядок, 1-й стовпець). Приклади. Обчислити визначники.
Відповіді. 1. 3; 2. 28; 3. 12; 4. 84.
|