Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі

Нехай послідовно проводяться випадкові експерименти (випробування). Будемо вважати, що будь–яка подія, яка відноситься до фіксованого випробування, буде незалежною від будь–якої події, що відноситься до інших випробувань. Тоді говорять, що задано послідовність незалежнихвипробувань. Нехай проводиться послідовністьнезалежних випадкових експериментів, в кожному із яких може настати деяка подія . Якщо ймовірність настання події є однаковою в кожному експерименті, то таку послідовність випробувань називають схемою Бернуллі.

Нехай проводяться серії із n випробувань. Позначимо – ймовірність того, що в випробуваннях подія настане точно разів. Результати серії із n випробувань можна подати у вигляді , де – подія, яка настає в -му експерименті, або . Тоді , якщо в -му експерименті настала подія , і , якщо . Тому, враховуючи незалежність, , а для тих , у яких входить рівно k разів, а n–k разів . Але k випробувань, у яких настає подія , можна вибрати способами і для кожного з них ймовірність рівна . Тоді за аксіомою адитивності,

. (1)

Одержана формула називається формулою Бернуллі.

Оскільки, , то .

Нехай – деяке фіксоване число, – змінне, . Дослідимо поведінку при зміні . Розглянемо відношення

.

Якщо або , то , тобто, ймовірності – зростають. Аналогічно,

при . Тому при ймовірності – спадають. Якщо є цілим числом, то максимальне значення ймовірності досягається при двох значеннях k, а саме: і . Якщо ж не є цілим числом, то максимальне значення ймовірності досягається тільки при одному значенні . Число , при якому є максимальною, називається найімовірнішим числом настання події. При цьому справедлива нерівність

. (2)

Застосування формули Бернуллі при великих n вимагає великої обчислювальної роботи, при цьому виникають похибки заокруглення, тому результат одержуємо наближений. Ми розглянемо тепер деякі наближені формули, що значно спрощують обчислення ймовірностей в схемі Бернуллі.

Теорема Пуассона використовується при обчисленні ймовірностей рідких подій, коли число випробувань досить велике, а ймовірність настання події в кожному випробуванні досить мала. Таким чином, при великих n і малих p можемо використовувати наближену формулу

, (3)

де .

Приклад 2. Прилад містить 2000 однаково надійних елементів. Ймовірність відмови кожного із них дорівнює 0,0005. Яка ймовірність відмови приладу, якщо вона настає при відмові більше, ніж двох елементів?

Розв’язування. Нехай A – відмова більше, ніж двох елементів, – відмова і елементів, тоді . Так як – досить велике, а – мале, то для знаходження ймовірностей подій можемо використати наближену формулу (3), в якій . Тому

,

а .

При великих n обчислення ймовірностей досить громіздке, тому необхідно мати асимптотичні формули, за якими ці ймовірності можна знаходити наближено. Одну із таких наближених формул ми уже розглянули. Але, якщо ймовірність не є близькою до нуля або одиниці, то теорема Пуассона дає велику похибку. В цьому випадку вигідно застосовувати наступну теорему.

Практичне використання доведеної теореми основане на наближеній формулі

, (10)

де – функція Гауса, а . Значення функції Гауса можна знайти за таблицями (таблиця 1), які містяться у більшості підручників з теорії ймовірностей.

Приклад 3. Ймовірність настання події в кожному із 100 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія настане 90 разів.

Розв’язування. Використаємо локальну теорему Муавра-Лапласа в якій покладемо:

n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k = 90. Тоді , а за таблицею 1 . Отже, із (10) одержуємо .

При розв’язуванні задач часто виникає необхідність знаходити ймовірності того, що в n випробуваннях Бернуллі подія настане від до раз. За локальною граничною теоремою це робити незручно, а вигідно застосовувати наступну теорему.

Теорема. Нехай – число появ події в незалежних випробуваннях в кожному із яких ймовірність її настання є сталою і дорівнює p (0< p <1), то рівномірно відносно a і b справедливе співвідношення

. (11)

Із теореми випливає, що при великих має місце наближена рівність

. (21)

Нехай – функція Лапласа, значення якої можна знайти за таблицею 2. Таблиця складена для значень , а при покладають , крім того враховуємо, що . Використовуючи рівність

,

(21) можна записати у вигляді

. (22)

Позначимо через – ймовірність того, що в n випробуваннях Бернуллі подія настане від до раз. Тоді із (21) і (22) одержуємо

або

, (23)

де .

Приклад 4. Ймовірність настання події в кожному із 100 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія настане не менше 80 і не більше 90 разів.

Розв’язування. Використаємо інтегральну теорему Муавра–Лапласа, в якій покладемо n = 100, p = 0,8, q = 0,2, = 80, = 90. Тоді , . За таблицею 2 (0) = 0, (2,5) = 0,4938. Отже, .