Випадкові величини. Функція розподілу випадкової величини

Розглядаючи випадкові експерименти, дотепер нас цікавили їх можливі наслідки. Але із можливими наслідками експерименту можна пов’язати певну величину, яка в залежності від наслідку експерименту приймає деякі числові значення. Наприклад, при киданні грального кубика нас цікавить число очок, які є на грані. При контролі якості продукції нас може цікавити число бракованих виробів серед випадково взятих n виробів. При проведенні пострілів по мішені кожній точці попадання ставимо у відповідність величину, яка дорівнює віддалі від цієї точки до центра мішені. Тобто, з кожним експериментом ми пов’язуємо величину, яка в залежності від випадку приймає деякі числові значення. Таку величину називають випадковою. Якщо в експерименті спостерігається певна випадкова величина , то при виборі будь-якого із повинно бути задане значення цієї величини . Отже, випадкову величину можна розглядати, як функцію визначену на просторі елементарних подій . Ця функція повинна задовольняти деяким додатковим умовам. Для цього ми спочатку визначимо поняття борелєвої алгебри.

Означення 1. Нехай задано ймовірнісний простір . Випадковою величиною називається будь-яка дійсна функція , що відображає простір елементарних подій в множину дійсних чисел R, для якої прообраз будь-якої борелєвої множини є множина із алгебри : .

Сформулюємо деякі висновки, що випливають із властивостей вимірних функцій. Звідси, зокрема, одержуємо, що множини , , , , , є випадковими подіями.

Якщо випадкові величини і визначені на одному і тому ж ймовірнісному просторі, то , , є також випадковими подіями.

Ми будемо також розглядати і події, що пов’язані із нескінченними послідовностями випадкових величин. Нехай - послідовність випадкових величин, що задані на ймовірнісному просторі , і - випадкова величина на . Тоді існує} , .

Означення 2. Ймовірність називається розподілом випадкової величини .

Означення 3. Нехай . Тоді функція називається функцією розподілу випадкової величини . Тобто, функція, яка для кожного дійсного x визначається рівністю

,

називається функцією розподілу випадкової величини .

Функція розподілу випадкової величини повністю визначає її розподіл.

Там, де це не викличе непорозуміння, замість писатимемо . Отже,

.

Як приклад, розглянемо рівномірний розподіл на відрізку [a,b]. На рідрізок [a,b] випадково кидається точка, причому вважаємо, що всі положення точки рівноможливі (ймовірність попадання точки на деяку частину відрізка пропорційна мірі цієї частини). Простір елементарних подій , є -алгебра борелєвих підмножин даного відрізка, P(.) – така міра, що , якщо . Визначимо випадкову величину , якщо , тобто - координата вибраної точки. Тоді для довільного x

Тому і – випадкова величина, а її функція розподілу має вигляд:

Відзначимо, що для різних випадкових величин їх функції розподілу можуть співпадати. Наприклад, нехай , , , , – випадкова величина, що визначена на : Тоді

Із визначення функції розподілу одержуємо:

Розглянемо нову випадкову величину Тоді, очевидно,

Якщо , то . Отже, різні випадкові величини можуть мати однакові функції розподілу.