Соотношения неопределенностей Гейзенберга

Лекция 9

КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ

Волны де Бройля

При возрастании частоты света его волновые свойства обнаружить все труднее. Де Бройль предположил, что двойственная природа света характерна не только для света (поток фотонов), но и для всех элементарных частиц: электронов, протонов, нейтронов и др. Если импульс фотона

р_ф = h/l, (1)

имеет универсальный характер для любых волновых процессов, происходящих с частицами, то можно найти длину волны частиц (волну де Бройля)

l = h/p = h/mv, (2)

где m - масса частицы; v - ее скорость (v < c).

Если частица имеет кинетическую энергию

W_k = mv²/2 = p²/(2m), (3)

то ее импульс . (4)

Поэтому формула (2) принимает вид

l = h / . (5)

Например, для электрона (заряд |q_e|) ускоренного в электрическом поле с разностью потенциалов Dj, согласно закону сохранения энергии, имеем

mv²/2 =½ q_e ½Dj. (6)

С учетом этого длину волны электрона [формула (5)] можно найти по выражению l = h / . (7)

Формула де Бройля была подтверждена в опытах Дэвиссона и Джермера, которые наблюдали дифракцию электронов при их рассеянии на монокристаллическом никеле (фольга) 2dsinq = nl, (8)

Рис. 1

где d - период кристаллической решетки никеля; q - угол рассеяния электронов; n = 1, 2, 3, ... - порядок дифракционного максимума; l - длина волны электрона.

При Dj = 54 В [по формуле (7)] электрон имеет длину волны l = 1,67×10^-10 м. При n = 1 [по формуле (8)] имеем l = 1,65×10^-10 м, что подтверждает справедливость теории. При облучении пучком электронов тонких поликристаллических пленок (h = 10^-7 м) на экране наблюдалась дифракционная картина в виде чередующихся концентрических колец максимумов и минимумов (рис. 1). Позднее наблюдали дифракцию нейтронов, протонов и др. элементарных частиц, что убедительно доказывает справедливость формулы де Бройля.

Природа волн де Бройля

При движении свободного электрона с длиной волны l он характеризуется энергией

e = W = hn. (9)

В векторной форме формулу де Бройля запишем в виде

, (10)

где - вектор импульса электрона; - волновой вектор (модуль k = ).

При наличии у среды дисперсии необходимо учитывать фазовую v_ф и групповую u скорости, связь между которыми определяется формулой

, (11)

где .

Используя формулы

W = hn, k = , ,

имеем для фазовой скорости частицы

(12)

где W - полная энергия частицы; v - скорость движения частицы;

w = 2pn - циклическая частота.

Следовательно, любые волны де Бройля испытывают дисперсию, т. к. v_ф ~l.

Групповую скорость волн де Бройля найдем по формуле

, т. е.

. (13)

Для свободной частицы формула

(14)

связывает полную энергию W частицы с ее импульсом p и массой m частицы.

Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна фазовой

,

т. е. u = v_ф , (15)

Установлено, что распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве электромагнитных волн, каких-либо других, известных ранее. Волны де Бройля (волны материи), связанные с движением частиц вещества, имеют квантовую природу, не знающую аналогов в классической физике.

Ответ на вопрос о природе волн, вызванных движением частиц материи, можно найти из физического смысла амплитуды этих волн. Для этого рассматривают интенсивность J, которая пропорциональна квадрату модуля амплитуды, т. е. J ~ |A²|. (16)

С волновой точки зрение наличие максимума частиц в некоторых направлениях (например, дифракция электронов), обусловлено наибольшей интенсивностью волн де Бройля.

Следовательно, как показал Борн, интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц (электронов) n, попавших в эту точку за единицу времени, т. е.

J ~ |A²| ~ n. (17)

Это положение послужило основанием для статистического, вероятностного истолкования существования волн де Бройля, а именно:

квадрат модуля амплитуды (интенсивность) волн де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в данной точке.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга

Двойственная природа частиц и статистический смысл волновой функции y(х, у, z, t) заданием, которой определяется состояние частицы в пространстве, ставит вопрос о границе применимости классической физики.

В классической физике также есть границы применимости, например, понятие температуры не применимо к одной молекуле или понятие о точечной локализации не может быть применимой к определенному положению в пространстве электромагнитной волны.

В квантовой механике невозможно одновременно характеризовать микрообъект его координатами (радиус-вектором) и импульсом.

Для этого Гейзенберг ввел соотношения неопределенностей

(18)

Пример 1. Рассмотрим движение электрона в атоме.

Его положение может быть определено с точностью до размеров атома,

т. е. Dх » 10^-10 м. Скорость движение электрона в атоме v » 10⁶ м/c, его масса покоя m = 9, 11×10^-31 кг.

Тогда из соотношений неопределенностей Гейзенберга имеем

или .

Абсолютная ошибка скорости

или

Следовательно, неопределенность нахождения скорости оказывается такого же порядка, что и сама скорость электрона в атоме.

Поэтому нельзя говорить о перемещении электрона в атоме по траектории, с точно заданной в каждой точке пространства скоростью.

Пример 2. Траектория электрона находится по следу, который фиксируется на фотопластинке.

Если размеры зерна фотоэмульсии имеют порядок Dх »10^-6 м, то положение электрона может быть найдено с точностью, определяемой линейными размерами этих зерен фотоэмульсии (классический случай).

Согласно соотношениям неопределенностей Гейзенберга (18) имеем

Ошибка в определении скорости электрона Dv_x = ,

а скорость электрона v » 10⁶ .

Следовательно, в этом случае можно говорить о движении электрона по траектории с точно заданной в каждой точке скоростью.

Рис. 2

Для энергии и времени соотношение неопределенностей Гейзенберга

(19)

отличается по смыслу от (18), поскольку время t не является динамической переменной и должно рассматриваться как параметр.

Для нестационарных состояний с характерным разбросом энергии DW под величиной Dt в (19) следует понимать промежуток времени, в течение которого существенно (на величину соответствующей дисперсии) изменяется среднее значение физических величин, характеризующих систему.

Вывод: Для состояния, в котором частица локализована в области пространства Dх (рис. 2, а), возможен разброс значений ее импульса около его среднего значения в области Dр_х (рис. 2, б), определяемый соотношением

. (20)

Таким образом, монохроматическая волна с заданным импульсом (Dр_х®0) должна заполнять полностью все пространство (Dх ® ¥).

Состояния системы, соответствующие минимуму соотношения неопределенностей, т. е. отвечающие знаку равенства в (3.20), называют когерентными состояниями, а характеристикой монохроматичности квантовых полей служит квантовая когерентность.

Соотношения неопределенностей (18) играют большую эвристическую роль, т. к. многие результаты задач, рассматриваемые в квантовой механике, могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классической физики с соотношениями неопределенностей. Однако некоторые физические величины могут быть точно определены одновременно. Например, можно одновременно выполнить условия: Dх ® 0, если Dр_х ® ¥ и Dр_у ® 0, если Dу ® ¥, т. е. можно точно и одновременно измерить координату (х) и проекцию импульса на ось у (Dр_у).

Совокупность всех физических величин, которые могут быть точно и одновременно определены в данной квантомеханической системе, называют полным набором одновременно измеряемых величин.

Важный вопрос - проблема устойчивости атома. Например, электрон движется вокруг ядра атома водорода (протона) по круговой орбите радиусом r со скоростью v. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру , где е =½q_e½= q_p - заряд электрона и протона по абсолютной величине. Центростремительное (нормальное) ускорение электрона на орбите . По второму закону Ньютона , где m - масса электрона.

Роль центростремительной силы выполняет кулоновская сила,

т. е. . Тогда радиус орбиты может быть сколь угодно малым, если v достаточно высокая. Согласно квантовой теории должно выполняться соотношение неопределенностей.

Если принять неопределенность положения электрона в пределах радиуса его орбиты за r, а неопределенность скорости - в пределах v, т. е. неопределенность импульса в пределах Dр = mv, то mvr ³ .

Следовательно, и ,

т. е. движение электрона по орбите r £ а_Б = » 5,5×10^-11 м невозможно.

Значит, электрон не может упасть на ядро, - атом устойчив.

Величина а_Б и является радиусом атома водорода (боровским радиусом).

Таким образом, квантово-механические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его с помощью мировых постоянных.