Системы линейных дифференциальных уравнений

С постоянными коэффициентами

Л и т е р а т у р а. [1], Т 2, §6, п. 6.1, 6.3.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. Что называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка? Сформулируйте задачу Коши для этой системы.

2. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка сведением системы к одному дифференциальному уравнению (метод исключения). Приведите пример.

3. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения. Приведите пример.

4. Запишите в матричной форме нормальную систему и решение нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приведите пример решения такой системы матричным способом.

ТЕМА 3. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Основные понятия. Необходимый

Признак сходимости числового ряда

Л и т eр а т у р а. [1], Т.2, §13, п.13.1-13.3.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Л и т eр а т у р а. [1], Т 2, §14, п.14.1-14.4.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Л и т eр а т у р а. [1], Т 2, §15, п.15.1.

Абсолютная и условная сходимости числовых рядов

Л и т eр а т у р а. [1], Т 2, §15, п.15.3.

ТЕМА 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Основные понятия. Теорема Абеля. Интервал

И радиус сходимости степенного ряда

Л и т eр а т у р а. [1], Т 2, §16, п.16.1, §17, п.17.1, 17.2.

Разложение функции в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Маклорена

Л и т eр а т у р а. [1], Т 2, §18, п.18.1,18.2.

Некоторые приложения степенных рядов

Л и т eр а т у р а. [1], Т 2, §19, п.19.1-19.3.

Указания к выполнению контрольной работы.

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в контрольные работы №5 и №6, которые выполняют студенты в третьем семестре.

Студент должен выполнить контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Комплексные числа

1-10. Даны два комплексных числа z₁ и z₂. Требуется:

1) записать числа в тригонометрической форме;

2) найти частное z₁/z₂ комплексных чисел в

алгебраической и тригонометрической формах;

3) извлечь корень четвертой степени из числа z₁ ;

4) возвести в пятнадцатую степень число z₂ .

1. z₁ =-1+i, z₂=1- i.

2. z₁=1+ i, z₂=-1-i.

3. z₁=-3+ i, z₂ =2+2i.

4. z₁=3- i, z₂=-2+2i.

5. z₁ =-1- i, z₂=1+i.

6. z₁=-1+ i, z₂=-2-2i.

7. z₁ =5+5i, z₂=1-i.

8. z₁ =-4+4i, z₂=-3- i.

9. z₁ =-5-5i, z₂=-6+6i.

10. z₁=-6-6i, z₂=-4-4i.

Дифференциальные уравнения

11-20. Найти общее решение дифференциального уравнения.

11. хуy'=1+y2. 12. 3xy'=y-1. 13. y'x3=2y 14. 1+y=(х+1)y' 15.y'=5e2y .

16. x2y'+y2=0. 17. ydy=(y2+1)xdx. 18. xy'=y+1. 19. 2y' =y. 20. 2xy'-y=1.

21-30.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

21.

22. xy''+2y'=x³, y(1)=0, y'(1)=0.

23.

24. yy''=3y'², y(1)=1, y'(1)=1.

25. 2xy''=1-(y')², y(1)=3, y'(1)=-1.

26. y'''=e^3x, y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=1/3.

27. xy''=1+y', y(0,5)=0,5, y'(0,5)=1.

28. (3+2x)y''+2y'=0, y(0)=0, y'(0)=-2

29. (1+x)y''+y'=0, y(0)=3, y'(0)=2.

30. y''+ =x², y(1)=0, y'(1)=0.

31-40. Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y₀, y'(0)=y'₀.

31. y''+4y'-12y=8sin2x; y(0)=0, y'(0)=0.

32. y''-6y'+9y=x²-x+3; y(0)=4/3, y'(0)=1/27.

33. y''+4y=e^-2х; y(0)=0, y'(0)=0.

34. y''-2y'+5y=xe^2х; y(0)=1 y'(0)=0.

35. y''+5y'+6y=12cos2x; y(0)=1, y'(0)=3.

36. y''-5y'+6y=(12x-7)e^-х; y(0)=0, y'(0)=0.

37. y''- 4y'+13y=26x+5; y(0)=1, y'(0)=0.

38. y''-4y'=16x²+1; y(0)=2, y'(0)=3.

39. y''-2y'+y=16e^х; y(0)=1, y'(0)=2.

40. y''+6y'+9y=10e^-3х; y(0)=3, y'(0)=2.

41-50. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

.

Требуется:

1) методом исключения найти частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям;

2) записать данную систему в матричной форме и найти ее частное решение.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51-60.Исследовать на сходимость числовые ряды.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61-70.Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать поведение ряда на границах интервала сходимости.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71-80.Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подинтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

71. .72. , b=1.

73. .74. , b=0,5.

75. .76. , b=0,5.

77. .78. , b=1.

79. .80. , b=0,5.

81-90. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения у=у(х) дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию у(0)=у₀.

81.y'=cosx+ , y(0)=1. 82.y'= , y(0)=0.

83.y'=y+ , y(0)=3. 84.y'= , y(0)=0.

85.y'=sinx+ , y(0)=1. 86.y'= , y(0)=4.

87.y'= + , y(0)=2. 88.y'= , y(0)=1.

89.y'= , y(0)=0. 90.y'= , y(0)=5.

91-100. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале (-l;l).

91. . 92. .

93. . 94. .

95. . 96. .

97 . 98. .

99. . 100. .