Резонанс напряжений в колебательном контуре

Методические указания

К лабораторным работам

по дисциплине

«ФИЗИКА»

РАБОТЫ 76, 77

МОСКВА – 2012

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра “Физика”

С.И. ИЛЬИН

С.В. МУХИН

Резонанс напряжений в колебательном контуре

Рекомендовано редакционно-издательским

советом университета в качестве

методических указаний для студентов 1 и 2 курса

всех специальностей

МОСКВА – 2012

И46

Ильин С.И., Мухин С.В. Резонанс напряжений в колебательном контуре. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Физика». Работы 76, 77. – М.: МИИТ, 2012. – 20 с.

Методические указания к лабораторным работам по физике № 76 и № 77 соответствуют программе и учебным планам по курсу общей физики (раздел «Колебания и волны») и предназначены для всех специальностей институтов ИУИТ, ИТТСУ, ИЭФ.

Ó МИИТ, 2012

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение распределения напряжений на разных участках цепи электрического контура при резонансе и вблизи него.

Введение

Резонанс напряжений возникает в электрическом контуре, содержащем последовательно соединенные катушку индуктивности L, конденсатор с электрической емкостью С и активное сопротивление R (рис.1).

L

С R

~e

Рис. 1

Будем считать, что источник тока, включенный в контур, имеет электродвижущую силу e, изменяющуюся со временем по синусоидальному закону:

,

где e_о – амплитуда ЭДС; W – циклическая частота ЭДС.

Если ограничиться случаем квазистационарных токов, то к мгновенным значениям силы тока i, ЭДС и напряжения на обкладках конденсатора U_c может быть применено 2-е правило Кирхгофа (в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме ЭДС):

iR + U_c = åe, (1)

где åe – алгебраическая сумма ЭДС источника тока и ЭДС самоиндукции e_с на участке с сосредоточенной индуктивностью L.

Выразим в этом уравнении силу тока в контуре, напряжение на конденсаторе и ЭДС самоиндукции через переменный заряд на обкладках конденсатора q:

После подстановки получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка – уравнение вынужденных электрических колебаний.

. (2)

Она определяет как общий характер, так и все особенности вынужденных колебаний в контуре. Нас будут интересовать, в частности, зависимости от времени силы тока и напряжений (на разных участках цепи) и сдвиг по фазе между ними.

Решение уравнения (2) состоит из суммы общего решения этого уравнения без правой части (однородного) и частного решения неоднородного уравнения (2). Решение однородного уравнения является затухающим электрическим колебанием. Если произведение >>1, то этим колебанием можно пренебречь. Поэтому решение установившихся электрических колебаний будем искать в виде

(3)

Определим, при каких значениях амплитуды тока i₀ и сдвига фаз a между силой тока и вынуждающей ЭДС зависимость i(t) в виде (3) обращает уравнение (2) в тождество. Из формулы (3) следует, что

;

Подставив эти выражения в уравнение (2), получим:

(5)

Используя соотношения

и , (6)

перепишем уравнение (5) в виде

(7)

Полученное соотношение между переменными токами и напряжениями делается особенно наглядным, если изобразить его с помощью векторов. (Совокупность векторов напряжений или токов образует векторную диаграмму данной цепи). Рассмотрим цепь, используемую в данной работе (рис. 1). При подаче на концы этой цепи напряжения частотой W в ней возникает переменный ток той же частоты, амплитуда i₀ и фаза a которого определяются параметрами цепи. Выберем произвольное направление, которое назовем осью токов (рис. 2).

e₀

Ось токов

Ri₀

Рис. 2

Этот ток вызовет на активном сопротивлении напряжение , амплитуда которого равна Ri₀, а фаза совпадает с фазой тока (второе слагаемое в левой части уравнения (7)). Поэтому на векторной диаграмме вектор, изображающий , нужно отложить по оси токов. Напряжение на индуктивности (с амплитудой LWi₀) опережает ток по фазе на p/2; поэтому вектор, изображающий , должен быть повернут относительно оси токов на угол p/2 против часовой стрелки. Наконец, напряжение на емкости (имеющее амплитуду ) отстает от тока по фазе на p/2; следовательно, вектор, изображающий , должен быть повернут относительно оси токов на угол p/2 по часовой стрелке.

Напряжения , и в сумме должны быть равны приложенному к цепи напряжению e₀. Поэтому, сложив векторы, изображающие , и , мы получим вектор, изображающий e (на рис.2 изображены амплитудные значения величин напряжений). Из векторной диаграммы легко получить соотношения (8) и (9), определяющие разность фаз между силой тока в цепи и вынуждающей ЭДС и амплитуду силы тока в цепи.

(8)

и формулу для амплитуды силы тока

(9)

где – полное сопротивление цепи переменного тока; R – активное (омическое) сопротивление; – реактивное сопротивление.

Как видно из уравнений (8) и (9), амплитуда силы тока и сдвиг фаз зависят не только от параметров контура, но и от частоты вынуждающей ЭДС. При этом легко определить частоту, при которой реактивное сопротивление становится равным нулю:

Эта частота W_p, как видно, совпадает с частотой собственных незатухающих колебаний в контуре и называется резонансной, так как ей соответствует максимальное значение амплитуды силы тока

и нулевое значение сдвига фаз между током и вынуждающей ЭДС. Явление резкого возрастания амплитуды силы тока и сближения фаз колебаний тока и вынуждающей ЭДС при приближении частоты вынуждающей ЭДС к собственной частоте колебаний в контуре называется резонансом. Он сопровождается не только отмеченными, но и рядом других характерных особенностей. Рассмотрим, в частности, напряжение при резонансной частоте сначала на концах катушки индуктивности, а затем между обкладками конденсатора:

Сравнение этих двух напряжений показывает, что амплитуды их при резонансе совпадают, а фазы колебаний противоположны. Значит, в условиях резонанса , а напряжение на активном сопротивлении должно быть максимальным. Этот вид резонанса и называют резонансом напряжений.

Векторная диаграмма для случая резонанса напряжений показана на рис. 3.

e₀= Ri₀ ось токов

Рис. 3

Резонансная частота для заряда q и напряжения равна:

В данной работе должны быть экспериментально изучены отмеченные выше особенности распределения напряжений на разных участках колебательного контура при резонансе и при подходе к нему.

Описание установки

Колебательный контур состоит из последовательно соединенных катушки индуктивности, батареи конденсаторов и активного сопротивления (рис. 4).

C

R

~e

Рис. 4

С помощью трансформатора, включаемого в сеть с напряжением 220 В, к этому контуру подводится напряжение 6,3 В, выполняющее роль вынуждающей ЭДС. Так как вынуждающая ЭДС имеет постоянную частоту 50 Гц, то подход к резонансу может осуществляться изменением собственной частоты колебаний в контуре. Для получения нескольких собственных частот колебаний в схеме имеется набор конденсаторов, параллельное соединение которых позволяет изменить величину емкости в контуре в широких пределах.

Собственная частота свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется по формуле:

. (10)

В данной работе параметры L, R и С подобраны так, что пренебрежение вторым слагаемым под корнем приводит к неточности в расчете частоты, не превышающей 1% от величины n. Поэтому рекомендуется рассчитывать частоту собственных колебаний по формуле

. (11)

Для измерения нaпpяжений на различных участках контура можно пользоваться одним вольтметром, включаемым при выполнении разных заданий так, как вольтметры V₁, V₂, V₃ на рис.4. Для измерения напряжения на индуктивности и емкости вместе подключают вольтметр к клеммам aв. В этом случае измеряемое при резонансе напряжение + может оказаться не равным нулю, а лишь во много раз меньшим, чем напряжение на индуктивности или емкости порознь. Это, объясняется, во-первых, тем, что скачкообразное изменение емкости не гарантирует получения резонансной частоты с высокой степенью точности, что может сказаться на разности фаз напряжений и и, во-вторых, тем, что катушка индуктивности содержит много витков проволоки, обладающей активным сопротивлением, не достаточно малым по сравнению с R.

При этом заметим, что в колебательном контуре, на который подается напряжение с различным W, максимальные значения и достигаются при частотах, отличных от W_р. В данной работе, в которой мы меняем не частоту внешнего напряжения, а емкость системы, это проявляется в следующем. Амплитуда напряжения на индуктивности = = от величины емкости С зависит так же, как и амплитуда напряжения на активном сопротивлении . Поэтому своего максимального значения достигает одновременно с . Амплитуда напряжения на емкости и при увеличении емкости С уменьшается быстрее, чем напряжение . Поэтому максимальное значение достигается при величине емкости меньшей, чем величина емкости, при которой достигается максимальное значение .

Приборы и принадлежности: колебательный контур из последовательно соединенных катушки индуктивности, активного сопротивления, батареи конденсаторов, вольтметр, провода.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с установкой и дополнительными указаниями к ней, содержащими значения параметров данного контура. Величину индуктивности записать в таблицу.

2. По известным емкостям отдельных конденсаторов рассчитать и записать в таблицу емкости батарей, составленных из одного, двух, трех, и т.д. конденсаторов (при параллельном соединении емкости конденсаторов суммируются).

3. По формуле (11) рассчитать частоты собственных колебаний контура и записать их в таблицу.

4. Включить вольтметр в положение V₃, для измерения напряжения на активном сопротивлении, которое пропорционально силе тока в контуре.

5. Все предыдущие задания выполняются при отключенном источнике тока e. Перед началом измерений все конденсаторы должны быть выключены.

6. Включить источник тока и провести измерения напряжения на активном сопротивлении, включая в контур один конденсатор, потом два, три и т.д. Когда емкость батареи станет максимальной, повторить те же измерения, по одному выключая конденсаторы из батареи. Записав измеренные напряжения в таблицу, выключить источник тока.

7. Построить график зависимости и определить по нему частоту n_р, при которой наблюдается максимум напряжения на активном сопротивлении и, следовательно, силы тока в контуре.

8. Включить вольтметр в положение V₁, для измерения напряжения на емкости и, следуя п.п. 5 и 6, провести измерения.

9. Включить вольтметр в положение V₂ для измерения напряжения на индуктивности и, следуя п.п. 5 и 6, провести измерения.

10. Построить графики зависимости (n) и (n). Объяснить особенности распределения напряжения на разных участках колебательного контура при резонансе и при подходе к нему.

11. Составить батарею конденсаторов, обеспечивающую получение в контуре резонансной частоты, после чего включить вольтметр к точкам а и в для измерения напряжения на участке, содержащем индуктивность и емкость: Включить источник тока и измерить несколько раз напряжение , записав в отчет его среднее значение. Выключить источник тока.

12. Сравнить напряжения при резонансной частоте.

Результаты измерений

L = ...............Гн; = ..................В.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит резонанс напряжений в контуре?

2. Выведите формулу для амплитуды силы тока установившихся вынужденных колебаний в контуре.

3. Выведите формулу для сдвига фаз между силой тока в контуре и вынуждающей ЭДС.

4. Чему равна разность фаз между силой тока в контуре и вынуждающей ЭДС при резонансе?

5. Чему равна разность фаз напряжений на катушке индуктивности и на батарее конденсаторов?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. II. – М.: Наука, 2007.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Курс общей физики. – М.: Высшая школа, 2010.

Работа 77

РЕЗОНАНС ТОКОВ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение распределения токов в различных ветвях электрического контура при резонансной и близких к ней частотах.

Введение

Резонанс токов возникает при определенных условиях в электрическом контуре, содержащем параллельно включенные катушку индуктивности L и конденсатор емкостью C (рис.1). Активные сопротивления в ветвях обозначены R₀, R₁ и R₂. В контур включается источник тока, ЭДС которого зависит от времени по гармоническому закону .

С R₁

i₁ i₂ L R₂

i

R₀

~e

Рис. 1

Резонанс токов сопровождается рядом интересных особенностей, которые можно установить при расчете токов в схеме рис. 1 и проверить экспериментально. Предполагая, что величина циклической частоты вынуждающей ЭДС W и размеры электрического контура обеспечивают квазистационарность токов, применим правило Кирхгофа для выяснения характера установившихся вынужденных колебаний тока в этом контуре. Для мгновенных значений токов, сходящихся в узле, используя первое правило Кирхгофа можно написать равенство

i = i₁ + i₂ . (1)

При составлении уравнений для контуров воспользуемся уравнением (2) работы 76, теоретическую часть которой необходимо изучить, приступая к подготовке данной лабораторной работы. Запишем это уравнение

. (2)

Нетрудно видеть, что уравнение для контура, содержащего С, R₁, R₀ и e (см. рис.1), получается из уравнения (2), если принять L=0, R₀=0 и R=R₁:

Используя решение уравнения (2) в работе 76, получим для силы тока i₁ следующее выражение:

.

Амплитуда силы тока i₀₁ и сдвиг по фазе между током и вынуждающей ЭДС a₁ имеют вид

(3)

Для контура, содержащего L, R₂, R₀ и e, из уравнения (2) в предположении, что , R₀=0 и R=R₂, получим уравнение

.

Из этого уравнения следует такое выражение для силы тока i₂:

(4)

Так как циклическая частота W токов i₁ и i₂ при установившихся вынужденных колебаниях одинакова, то согласно формуле (1) силу тока i можно представить в виде

(5)

Как видно из формул (3-5), сила токов в ветвях и фазовые соотношения между ними и ЭДС определяются параметрами L, C, e₀, W, R₁ и R₂.

Известно, что наиболее выразительно явление резонанса проявляется при отсутствии активного сопротивления. Допустим для этого предельного случая, что R₁=R₂=0. Тогда

При этом амплитудное значение тока в неразветвленной части цепи оказывается наименьшим:

а токи в ветвях (i₁ и i₂) изменяются противофазно. Из последнего равенства вытекает условие, при котором ток в неразветвленной части цепи обращается в нуль. Для этого необходимо, чтобы частота вынуждающей ЭДС стала равной собственной частоте колебаний идеального контура (содержащего индуктивность и емкость).

Итак, при выполнении условий R₀=R₁=R₂=0 и ток в неразветвленной части цепи обращается в нуль, а в ветвях, содержащих индуктивность и емкость, амплитудные значения токов становятся одинаковыми и могут быть большими по величине. Это явление именуется резонансом токов.

Соотношение между токами i₁ и i₂ можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы токов. При построении диаграммы вектора токов необходимо откладывать относительно оси напряжений, в качестве которой выберем горизонтальную ось (рис. 2).

Ток в индуктивности отстает от напряжений на p/2 и потому изображается вектором, повернутым относительно оси напряжений против часовой стрелки на угол p/2. Ток в емкости опережает напряжение на p/2, соответственно он повернут относительно оси напряжений по часовой стрелке на угол p/2. При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы, а результирующий ток равен нулю.

p/2

Ось напряжений

p/2

Рис. 2

Однако в реальном контуре в полной мере выполнить указанные условия практически невозможно. Поэтому в данной лабораторной работе будет наблюдаться резкое уменьшение тока в неразветвленной части цепи, сопровождающееся выравниванием величин токов в ветвях с катушкой индуктивности и батареи конденсаторов, когда собственная частота колебаний контура будет приближаться к фиксированной частоте электродвижущей силы e.

Описание установки: схема установки для изучения резонанса токов представлена на рис. 3.

C

L

~e

Рис. 3

Для измерения силы тока в неразветвленной части цепи служит амперметр А, а в ветвях с батареей конденсаторов и катушкой индуктивности, соответственно, амперметры А₁ и А₂. Электрический контур питается напряжением e = 6,3 В, частота изменения которого n = 50 Гц. Подход к резонансу достигается изменением частоты собственных колебаний контура, содержащего индуктивность L и емкость C. Из-за малости омических сопротивлений в ветвях, они не указаны на рис. 3, хотя катушка индуктивности, содержащая большое количество витков проволоки, неизбежно обладает и активным сопротивлением. Параметры контура подобраны так, что с погрешностью, не превышающей 1% , можно рассчитывать частоту собственных колебаний контура по формуле

. (6)

Для получения набора частот в районе резонансной частоты изменяется емкость батареи – путем изменения количества ее конденсаторов, которые соединяются параллельно. Включение конденсаторов в батарею достигается замыканием электрической цепи. Электрическая емкость батареи, состоящей из параллельно включенных конденсаторов, как известно, равна сумме емкостей конденсаторов. Разумеется, может оказаться, что ни одна из полученных таким способом частот не совпадает с частотой вынуждающей колебания ЭДС. Это является одной из причин невыполнения в полной мере условий для наступления резонанса, что уже отмечалось выше. Другой причиной является наличие активного сопротивления в катушке индуктивности.

Приборы и принадлежности: электрический контур из параллельно соединенных катушки индуктивности и батарей конденсаторов; амперметр; провода.

Порядок выполнения работы

Перед началом измерений следует внимательно ознакомиться с установкой и дополнительными указаниями, конкретизирующими условия работы на ней.

Из дополнительных указаний переписать в отчет величину L катушки индуктивности, используемой в данной установке, а также величины емкостей конденсаторов, включаемых в батарею.

Рассчитать емкость батарей, состоящих из одного, двух, трех конденсаторов и т.д. Результаты записать в таблицу.

По формуле (6) рассчитать частоты собственных колебаний и записать их в таблицу.

Включить амперметр в положение А для измерения тока i в неразветвленной цепи.

Внимание! При измерении тока на одном гнезде (например А), другие гнезда (А₁ и А₂) должны быть замкнуты с помощью вилок.

Включить источник тока и провести измерения, включая в контур один конденсатор, потом два, три и т.д. Когда емкость батарей станет максимальной, повторить те же измерения, по одному выключая конденсаторы из батареи. Записав измеренные значения токов, выключить источник тока.

Включить амперметр в положение А₁ для измерения тока i₁ в цепи конденсатора и провести измерения согласно п. 6.

Включить амперметр в положение А₂ для измерения тока i₂ в цепи индуктивности и провести измерения согласно п. 6.

Построить на миллиметровой бумаге графики зависимости токов i, i₁, i₂ от частоты n (три графика на одном рисунке).

Объяснить полученные экспериментально графики зависимостей i(n), i₁(n) и i₂(n).

Результаты измерений

L=……………Гн.

Контрольные вопросы

Нарисуйте схему электрического контура для наблюдения резонанса токов.

Как достигнуть противофазности колебаний токов i₁ и i₂?

При каких условиях наступает и как проявляется резонанс токов?

Выведите формулы (2), (3), (4), (5).

Объясните полученные в этой работе экспериментально зависимости токов от частоты.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. II. – М.: Наука, 2007.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Курс общей физики. – М.: Высшая школа, 2010.

Содержание

Работа 76. Резонанс напряжений в колебательном контуре............... 3

Работа 77. Резонанс токов в колебательном контуре....................... 13

Учебно-методическое издание

Ильин Станислав Иванович

Мухин Сергей Васильевич

Резонанс напряжений в колебательном контуре

Методические указания

К лабораторным работам

по дисциплине

«ФИЗИКА»