Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных

Понятие функции двух переменных

Величина z называется функцией двух независимых переменных x и y, если каждой паре допустимых значений этих величин по определенному закону соответствует одно вполне определенное значение величины z. Независимые переменные x и y называют аргументами функции .

Такая функциональная зависимость аналитически обозначается

Z = f (x,y), (1)

Значения аргументов x и y, которым соответствуют действительные значения функции z, считаются допустимыми, а множество всех допустимых пар значений x и y называют областью определения функции двух переменных.

Для функции нескольких переменных, в отличие от функции одной переменной, вводят понятия ее частных приращений по каждому из аргументов и понятие полного приращения.

Частным приращением Δ_xz функции z=f (x,y) по аргументу x называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент x получает приращение Δx при неизменном y:

Δ_xz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Частным приращением Δ_yz функции z= f (x, y) по аргументу y называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент y получает приращение Δy при неизменном x:

Δ_yz= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Полным приращением Δz функции z= f (x, y) по аргументам x и y называется приращение, которое получает функция, если оба ее аргумента получают приращения:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

При достаточно малых приращениях Δx и Δy аргументов функции

имеет место приближенное равенство:

Δz Δ_xz + Δ_yz , (5)

причем оно тем точнее, чем меньше Δx и Δy .

Частные производные функции двух переменных

Частной производной функции z=f (x, y) по аргументу x в точке (x, y) называется предел отношения частного приращения Δ_xz этой функции к соответствующему приращению Δx аргумента x при стремлении Δx к 0 и при условии , что этот предел существует:

, (6)

Аналогично определяют производную функции z=f (x, y) по аргументу y:

Кроме указанного обозначения, частные производные функции обозначают также , z΄_x, f΄_x(x, y); , z΄_y, f΄_y(x, y).

Основной смысл частной производной состоит в следующем: частная производная функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов характеризует скорость изменения данной функции при изменении этого аргумента.

При вычислении частной производной функции нескольких переменных по какому-либо аргументу все остальные аргументы этой функции считаются постоянными.

Пример1. Найти частные производные функции

f (x, y)= x²+ y³

Решение. При нахождении частной производной этой функции по аргументу x аргумент y считаем постоянной величиной:

;

При нахождении частной производной по аргументу y аргумент x считаем постоянной величиной:

.

Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных

Частным дифференциалом функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов называется произведение частной производной этой функции по данному аргументу на дифференциал этого аргумента:

d_xz= , (7)

d_yz= (8)

Здесь d_xz и d_yz -частные дифференциалы функции z= f (x, y) по аргументам x и y. При этом

dx= Δx; dy= Δy, (9)

Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма ее частных дифференциалов:

dz= d_xz + d_yz, (10)

Пример 2. Найдем частные и полный дифференциалы функции f (x, y)= x² + y³ .

Так как частные производные этой функции найдены в примере 1, то получаем

d_xz= 2xdx; d_yz= 3y²dy;

dz= 2xdx + 3y²dy

Частный дифференциал функции нескольких переменных по каждому из ее аргументов является главной частью соответствующего частного приращения функции.

Вследствие этого можно записать:

Δ_xz d_xz, Δ_yz d_yz, (11)

Аналитический смысл полного дифференциала заключается в том, что полный дифференциал функции нескольких переменных представляет собой главную часть полного приращения этой функции.

Таким образом, имеет место приближенное равенство

Δz dz, (12)

На использовании формулы (12) основано применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Представим приращение Δz в виде

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

а полный дифференциал в виде

Тогда получаем:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

откуда

, (13)

3.Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Определение функции двух переменных.

2. Понятие частного и полного приращения функции двух переменных.

3. Определение частной производной функции нескольких переменных.

4. Физический смысл частной производной функции нескольких переменных по какому- либо из ее аргументов.

5. Определение частного дифференциала функции нескольких переменных.

6. Определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

7. Аналитический смысл полного дифференциала.

Студент должен уметь:

1. Находить частные и полное приращение функции двух переменных.

2. Вычислять частные производные функции нескольких переменных.

3. Находить частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.

4. Применять полный дифференциал функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

4.Содержание обучения:

Теоретическая часть:

1. Понятие функции нескольких переменных.

2. Функция двух переменных. Частное и полное приращение функции двух переменных.

3. Частная производная функции нескольких переменных.

4. Частные дифференциалы функции нескольких переменных.

5. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

6. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

Практическая часть:

1.Найдите частные производные функций:

1) ; 4) ;

2) z= e ^ху+2x; 5) z= 2tg хе^у;

3) z= х²sin²y; 6) .

2. Найдите частные и полные дифференциалы функций:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

3.С использованием полного дифференциала найдите приближенно значение функций:

1) z= (х+у)² при следующих значениях ее аргументов: х =1,02 ; у =1,01.

2) z= tg (ху) при следующих значениях ее аргументов: х =п/4+0,01; у =1,01.

5.Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1. Приведите примеры, когда одна из изучаемых величин зависит от нескольких независимых между собой величин.

2. Дайте определение функции двух переменных.

3. Что называется частным и полным приращением?

4. Дайте определение частной производной функции по данному аргументу.

5. Что называется частным и полным дифференциалом функции двух переменных? Как они связаны между собой?

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. Равно ли в общем случае произвольной функции нескольких переменных ее полное приращение сумме всех частных приращений?

2. В чем состоит основной смысл частной производной функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов?

3. В чем состоит аналитический смысл полного дифференциала?

7.Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 20 мин.

3.Решение примеров и задач - 40 мин.

4. Текущий контроль знаний -30 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию:

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, § 3.3.