Критерий Коши сходимости ряда

Так как вопрос о сходимости ряда по определению эквивалентен вопросу о сходимости последовательности его частичных сумм, то мы получим необходимое и достаточное условие сходимости данного ряда, сформулировав критерий сходимости Коши для последовательности его частичных сумм. Для удобства приведем формулировкукритерия Коши для последовательности (см. п. 3 § 3 гл. 3 ч. 1):

Для того последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа нашелся номер такой, что для всех номеров удовлетворяющих условию и для всех натуральных

В качестве следствия из этого утверждения получим следующую основную теорему.

Теорема 1.1 (критерий Коши для ряда). Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа нашелся номер такой, что для всех номеров удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел

Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что величина, стоящая под знаком модуля в неравенстве (1.12), равна разности частичных сумм

Отметим, что критерий сходимости Коши представляет в основном теоретический интерес. Его использование для исследования сходимости или расходимости тех или иных конкретных рядов, как правило, сопряжено с трудностями. Поэтому наличие критерия Коши не снимает вопроса об установлении других практически эффективных признаков сходимости и расходимости рядов.

Из теоремы 1.1 легко получить два элементарных, но важных следствия.

Следствие 1. Если ряд сходится, то последовательность является бесконечно малой.

Принято называть величину остатком ряда

Чтобы доказать следствие 1, достаточно показать, что для любого найдется номер такой, что при Последнее неравенство непосредственно вытекает из неравенства (1.12), справедливого для любого и из теоремы

Следствие 2 (необходимое условие сходимости ряда). Для сходимости ряда необходимо, чтобы последовательность членов этого ряда являлась бесконечно малой.

Достаточно доказать, что для данного сходящегося ряда и любого найдется номер такой, что при Пусть дано любое Согласно теореме 1.1 найдется номер такой, что при и для любого натурального выполняется неравенство (1.12). В частности, при это неравенство имеет вид

Если теперь положить номер равным то при в силу неравенства (1.12) получим что и требовалось доказать. Иначе следствие 2 можно сформулировать так: для сходимости ряда необходимо, чтобы Таким образом, при исследовании данного ряда на сходимость следует прежде всего посмотреть, стремится ли к нулю член этого ряда при Если это не так, то ряд заведомо расходится. Так, например, ряд

заведомо расходится, ибо

Аналогично расходимость уже встречавшегося выше ряда вытекает из того, что не существует.

Отметим, что стремление к нулю члена ряда при является лишь необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. В качестве примера рассмотрим ряд

Этот ряд обычно называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, но (как доказано в § 3 гл. последовательность частичных сумм этого ряда расходится.