Интегрирование рациональных функций

Достаточные условия экстремума.

1) Пусть x₀ – критическая точка функции f(x) (f(x₀)=0 или f’(x₀) не существует).

! f(x) непрерывна в точке x₀, тогда если:

а) имеет f’(x)>0 и имеет f’(x)<0 => x₀ – точка максимума.

б) f’(x)<0 и f’(x)>0 => x₀ – точка минимума.

в) если и , то f’(x) поменяет знак => не является точкой экстремума.

Доказательство:

а) По условию имеет f’(x)>0 => f(x)↑на (по теореме 1)

f(x)<f(x₀), x≠x₀

имеем f’(x)<0 => f(x)↓на (по теореме 1)

f(x₀)>f(x), x≠x₀

=> f(x₀) > f(x) => x₀ – точка максимума.

2) Если в точке и в точке , тогда если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

Направление выпуклости и точки перегиба кривой.

График функции y=f(x) называется выпуклым в (a,b), если функция лежит ниже новой касательной к графику функции, проведённой в любой точке, абсцисса которой принадлежит этому интервалу (a,b).

Касательная y(x) = y(x₀)+y’(x₀)(x-x₀)

y(x) < Y(x) (a,b)

График функции y=f(x) вогнутый в (a,b), если Y(x) < y(x) (a,b) (график функции выше касательной).

Достаточное условие выпуклости функции:

Пусть 1) f(x) (a,b)

2) f’’(x) непрерывна в (a,b)

Тогда если f’’(x)>0 (a,b), то график y=f(x) вогнутый в (a,b); если f’’(x)<0, то график y=f(x) выпуклый в (a,b).

Точка перегиба: точка M₀(x₀,f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если при переходе через точку М₀ график функции меняет направление выпуклости.

Необходимое условие: если M₀(x₀,f(x₀)) есть точка перегиба, то необходимо f’’(x₀)=0 или f’’(x₀) не существует.

Достаточное условие: пусть 1) функция f(x): (a,b) и a<x₀<b;

2) производная f’’(x) непрерывна при кроме т.б. точки;

3) f’’(x₀)=0 или f’’(x₀) не существует;

4) и производная f’’(x) имеет разные знаки => точка M₀(x₀,f(x₀)) – точка перегиба функции y=f(x).

Асимптоты.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .

Для существования наклонной асимптоты к графику функции при ( ) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1) ,2) .

Доказательство. Докажем необходимость, то есть если — наклонная асимптота к графику функции при ( ), то условия 1 и 2 выполняются. Условие 2 следует непосредственно из определения наклонной асимптоты, а условие 1 легко получается при делении на выражения, стоящего под знаком предела в этом определении. Доказательство достаточности проводится аналогично. Теорема доказана.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Прямая называется горизонтальной асимптотой к графику функции при ( ), если .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Теорема: Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Замечание: Согласно теореме, неопределенный интеграл существует, если f(x) непрерывна на (a,b). Некоторые интегралы не выражаются через элементарные функции (“неберущиеся интегралы”).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

28. Свойства неопределённого интеграла:

Доказательство свойств 1, 2, 3 следует из определения => y = F(x)+C => y’(x) = (F(x)+C)’

Доказательство 4: продифференцируем левую и правую части равенства

29. Замена переменной в неопределённом интеграле:

а) Линейные подстановки.

(kx+a)’=k*1=k => k, a = const (k≠0)

d(kx+a)=(kx+a)’dx=kdx => dx= d(kx+a)

.

б) Замена переменной.

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на (a,b). Положим , где функция имеет непрерывную производную и обратима (

Тогда

Доказательство: продифференцируем левую и правую части равенства.

=>

Заметим, что => 1=

Подставим:

Интегрирование по частям.

Пусть

u=u(x), v=v(x)

— функции, дифференцируемые на некотором промежутке X.

. Тогда, как известно, дифференциал произведения этих функций вычисляется по формуле

d(uv)=udv+vdu.

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:

∫d(uv)=∫(udv+vdu).

Так как

∫d(uv)=uv+C, а

∫(udv+vdu)=∫udv+∫vdu, то получаем:

uv+C=∫udv+∫vdu, откуда

∫udv=uv+C−∫vdu.

Поскольку ∫vdu уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства C можно опустить и записать равенство в виде

∫udv=uv−∫vdu.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных функций.

Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде отношения двух многочленов. Например, если R(x) — рациональная функция одной переменной x, то

Здесь, как обычно, индексы у P_m(x) и Q_n(x) указывают степени этих многочленов.(проинтегрируем)

Теорема:

Неопределённый интеграл от любой вещественной рациональной дроби выражается через элементарные функции (т.е. «берущийся интеграл»).

Если дробь сократима, то сократить (общие множители P_n(x) и Q_m(x)).

Если дробь неправильная (m≥n), то разделить числители на знаменатель.

Интегрирование правильных дробей.

а) Если дробь не простейшая, то разложить на простейшие дроби.

б) Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей, неопределенный коэффициент. Эти коэффициенты находим методом неопр. коэффициентов.

Элементарными (простейшими) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

A/(x−a);

A/(x−a)ⁿ (n=2,3,4,…);

Mx+N/x²+px+q (p²−4q<0);

Mx+N/(x²+px+q)ⁿ (p²−4q<0; n=2,3,4,…).

I. ;

II.

III.

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби типа III получаем

, или ,

где , откуда

Классы функций, приводимых к рациональным дробям с помощью замены переменных.

P(x,y,z) – рациональная функция от x,y,z.

Подстановка.

ax+b=t^k, где k – наименьшее общее кратное чисел α₁,…,α_n.

x =

dx =

Универсальная подстановка:

Имеем

Пример:

32. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл интеграла.

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка[a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается .
Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: .
В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:
Если b=a, то ; если b<a, то .

Определённый интеграл есть конечный предел суммы Римана (интегральных сумм).

Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь

после чего остается перейти к пределу при λ → 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = x_m, то

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

Теорема о среднем значении.

Теорема 5. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 - x_k) ≤ M(x_k+1 - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами