Циркуляция вектора магнитной индукции.Расчёт магнитного поля длинного соленоида

Циркуляция по произвольному контуру L в вакууме равна произведению магнитной постоянной m₀ на алгебраическую сумму токов, охваченных этим контуром.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток противоположного направления - отрицательным (рис. 7, где I₁ > 0, I₃ > 0, I₂ < 0, I₄ < 0).

Рис.7.

Рассмотрим магнитное поле прямого проводника с током бесконечной длины (рис.8, ток направлен к нам). В качестве замкнутой поверхности используем окружность L радиуса r. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен радиус-вектору и совпадает по направлению с вектором элемента длины .

Рис. 8

Согласно определению циркуляции вектора имеем

, (cosa =1)Применив формулу индукции прямого проводника с током бесконечной длины, последнее равенство перепишем в виде

.Теорема остается справедливой и для контура произвольной формы, который охватывает N проводников с током, т. е.

. (27)

Формулу (27) называют законом полного тока.

Если ток распределен по объему, где расположен контур L, то

.

Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур L.

Поэтому плотность тока под интегралом соответствует точке, где расположена площадка (направление обхода и вектор нормали связаны правилом правого винта). С учетом этого теорему о циркуляции запишем в виде

. (28)

Замечание 1: Магнитное поле называют вихревым, или соленоидальным, поскольку циркуляция вектора не равна нулю (в отличие от электростатического поля, которое является потенциальным).Замечание 2: Поле вектора определяется всеми токами, а циркуляция вектора - только теми токами, которые охватывает данный контур.Рассмотрим отношение циркуляции вектора к площадке S, натянутой на контур L. Ориентация этого контура связана с вектором нормали к плоскости контура правилом правого винта. В пределе при S ® 0, имеем

. (29)Формулу (29) называют ротором поля .Следовательно, этот предел представляет собой скалярную величину, равную проекции вектора на нормаль. Используя (29), формулу (28) представим в виде:

(30)или (31)где - векторный дифференциальный оператор.

Следовательно,

. (32).Ротор поля совпадает по направлению с вектором плотности тока в данной точке. Формула (32) - дифференциальная форма теоремы о циркуляции . Дифференциальная форма теоремы о циркуляции расширяет ее возможности для исследования и расчета сложных магнитных полей.

Для электростатического поля мы вводили понятие циркуляции вектора напряжённости электростатического поля как

. (3.16)Аналогично вводится циркуляция для магнитного поля: . (3.17)

Здесь В_l=Bcosa – проекция вектора B на направление касательной к контуру, a – угол между касательной к контуру и вектором B. Посчитаем теперь циркуляцию для прямолинейного проводника с током. В качестве контура обхода выберем окружность некоторого радиуса b, в центре которой находится проводник с током. В этом случае индукция определяется выражением (3.14). Теперь, с учётом выражения (3.14), посчитаем циркуляцию (3.17). Как видно из рис. 3.7, dl=bda. Тогда

(3.18)При вычислении интеграла мы также учли, что cosa=1. Мы получили этот результат, специальным образом выбрав контур обхода. Оказывается, этот результат остаётся справедливым для любого контура обхода. Знак уравнения (3.18) зависит только от направления обхода – если направление обхода и направление тока соответствуют правилу правого винта, то знак уравнения (3.18) будет положительным. В противном случае знак будет отрицательным. Если же контур обхода охватывает несколько токов, то, в силу принципа суперпозиции для магнитного поля, можно записать, что

. (3.19)Каждый из интегралов в последней сумме равен m₀I_m. Таким образом, окончательно получим . (3.20)

Полученное выражение называется законом полного тока для магнитного поля в вакууме и читается так: циркуляция вектора магнитной индукции в вакууме по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную.Напомним, что для электростатического поля циркуляция вектора напряжённости равна нулю и это позволило ввести понятие потенциала для электростатического поля. Для магнитного поля циркуляция отлична от нуля и это означает, что для магнитного поля нельзя ввести понятие потенциала.

Если токи текут по всему пространству, охватываемому контуром, то , и тогда вместо уравнения (3.20) получим . (3.21)Преобразуем левую часть уравнения (3.21) по теореме Стокса:

. (3.22)Последнее равенство в выражении (3.22) справедливо, если подинтегральные выражения одинаковы в каждой точке поверхности S: . (3.23)Поля, у которых ротор отличен от нуля, называются вихревыми или соленоидальными. Таким образом, магнитное поле является вихревым.Применим закон полного тока для расчёта магнитного поля бесконечно длинного соленоида (соленоидом называют катушку с намотанным на ней проводом, по которому пропускают электрический ток). Соленоиды используют для получения магнитного поля. В реальности, модель бесконечно длинного соленоида можно использовать для реальных соленоидов, если длина соленоида много больше его диаметра. Эксперимент показывает, что магнитное поле, в основном, сосредоточено внутри соленоида. Выберем некий контур обхода АБСД (рис.3.8) и посчитаем циркуляцию вектора магнитной индукции для этого контура.Пусть на длине AD=BC укладывается N витков. Тогда

. (3.24) Интегралы на участках АВ и СD равны нулю, поскольку на этих участках B_l=0 (угол между векторами B и dl равен 90^o). На участке DA магнитное поле равно нулю (для конечного соленоида поле вне его, конечно же, будет, но очень слабым, поэтому им можно пренебречь). Таким образом, вместо выражения (3.24) получим

. (3.25)Теперь вспомним, что поле внутри соленоида постоянное и его можно вынести за знак интеграла. Оставшийся интеграл даст длину участка ВС=l. Следовательно, для поля внутри соленоида окончательно получим . (3.26)Здесь n = N/l – число витков, приходящееся на единицу длины. Важное место в технике занимает также тороид – кольцевая катушка с навитым на ней проводом. Как показывает опыт, поле полностью сосредоточено внутри катушки, поэтому выберем контур обхода, проходящий внутри катушки. Очевидно, что это будет окружность радиуса r. Если в катушке N витков, то для поля внутри тороида получим . (3.27)Из выражений (3.26) и (3.27) видно, что формулы для тороида и бесконечно длинного соленоида одинаковы. И это неудивительно, если вспомнить, что бесконечно длинный соленоид можно представить как тороид с бесконечно большими радиусами.