Элементы механики сплошной среды. Упругие тела. Закон Гука. Абсолютные и относительные деформации. Модуль Юнга. Модуль сдвига. Объемная деформация. Коэффициент Пуассона

До сих пор мы рассматривали твердые тела недеформируемыми. Однако при приложении сил твердые тела в той или иной степени меняют свою форму. Примерами являются растяжение резины, изгиб проволоки, смятие пластилина, сжатие пружины и т. п. Этим явлениям посвящен раздел физики, который называется «Механика деформируемого твердого тела». Это довольно сложная наука, достаточно сказать, что полное математическое описание этих явлений требует применения уравнений в частных производных четвертого порядка. Мы рассмотрим простейшие, чтобы иметь минимальное представление о важнейших явлениях из этой области.

Растяжение. Сжатие. Экспериментально установлена зависимость удлинения стержня от приложенной растягивающей силы , его длины и поперечного сечения . В случае не очень большой силы эта зависимость имеет линейный характер – , где – так называемый модуль Юнга, зависящий от материала стержня его физический смысл – нагрузка на единицу поперечного сечения, «удваивающая» длину стержня. Если ввести величины: относительное удлинение (или деформацию) , напряжение (его размерность равна размерности давления – сила / площадь, такую же размерность имеет модуль Юнга), можно получить форму этого закона, не зависящую от размеров тела: σ = εE. Этот линейный феноменологический закон был предложен современником Ньютона – Гуком и хорошо выполняется для малых деформаций ( ).

Реальная кривая нагружения – зависимость силы или напряжения от удлинения или относительной деформации для обычных тел − состоит из ряда участков. прямолинейный участок (закон Гука), заканчивающийся пределом пропорциональности или пределом текучести – напряжением (или силой), при котором отклонение от линейного закона не превышает 0,2 %. Далее наблюдается пластичный участок, напряжения растут нелинейно, достигают максимума – предела прочности, после которого следует спад напряжения и обрыв испытуемого стержня.

Если разгружать стержень, достигший участка пластичности, то уменьшение его длины будет происходить по линейному закону, и при силе равной нулю длина стержня останется бóльшей, чем первоначальная. Это явление так и называется остаточной деформацией. Если теперь стержень снова нагружать, линейная область деформации несколько расширится, и стержень будет «работать» упруго до несколько больших значений силы. Это явление называется наклепом.

В зависимости от вида кривой нагружения тела относят к пластическим или хрупким (мягкая сталь, стекло). Хрупкие тела разрушаются практически без участка пластической деформации.

При растяжении стержня тела его поперечные размеры уменьшаются пропорционально продольной относительной деформации. Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона и обозначается μ. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона μ полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала, и все другие упругие постоянные могут быть выражены через них.

При растяжении объем тела меняется , или

.

При сжатии тела поведение будет аналогичным, но знаки у деформаций и напряжений будут отрицательными, и, как правило, нелинейные явления начнутся при бóльших напряжениях, если раньше не наступит потеря устойчивости, проявляющаяся в том, что стержень начнет изгибаться. Порог этого явления зависит от отношения продольного размера к поперечным, чем оно больше, тем ниже порог устойчивости для данного тела.

Сдвиг. Нагрузка прикладывается двумя встречными силами, вернее, парой сил к площадкам S параллельным силам. Под действием этой пары сил площадки сдвигаются параллельно самим себе, при этом сечения тела, первоначально перпендикулярные площадкам и силам, поворачиваются на угол γ.

Тангенс этого угла связан с перемещением площадки и расстоянием между ними соотношением , поскольку угол мал. Для малых углов γ в эксперименте выполняется линейное соотношение F / S = γG, где – модуль сдвига.

Все остальные виды деформаций самого сложного характера: изгиб, кручение, их комбинации с растяжением, сжатием и т. п., сводятся к этим двум элементарным с учетом того, что они еще могут быть расположены в трех координатных плоскостях. Полное их описание требует применения аппарата тензорного счисления, что выходит за рамки нашего курса.