Тізбекшелер мен дербес шектер

1. Тізбекше мен дербес шектің анықтамалары. Біз тізбектердің жинақталуы да, жинақталмауы да мүмкін екенін білеміз. Бұдан мынадай сұрақ туады: Барлық тізбектердің ішінде жинақталатын тізбектердің ерекшелігі неде?

Бұл сұраққа жауап «тізбекше», «дербес шек» ұғымдарын пайдалану арқылы беріледі. Сол ұғымдарды анықтайық.

{x_n} тізбегі берілсін.

n₁<n₂<n₃<… (1)

теңсіздіктерін қанағаттандыратын оң бүтін сандар тізбегін қарастырайық (әрине болады).

Егер әрбір оң бүтін і санына х_nі санын сәйкес қойсақ, онда бұл тәуелділік тізбек болады. Сол тізбек тізбегінің тізбекшесі деп аталады да, символымен белгіленеді.

Сонымен, тізбекшенің өзі де тізбек болады. Ал «тізбекше» деп аталуы белгілі бір тізбектен жоғарыда айтылған әдіспен құрылғанын көрсетеді.

Әрбір тізбектің ақырсыз көп тізбекшелері бар, дәлірек айтқанда, (1)-ді қанағаттандыратын қанша тізбектері бар болса, тізбектің сонша тізбекшесі бар болады.

Тізбекшелердің ақырсыз (санаулы) жиынының мысалы ретінде мына , , … , … тізбекшелерді алуға болады.

Тізбек пен оның тізбекшесінің арасындағы бір байланыс келесі теоремада беріледі.

Теорема. Егер {х_n}_n³1 тізбегінің шегі бар және q-ға тең болса, онда оның кез келген тізбекшесінің де шегі бар болып, ол да q-ғaтең болады.

Дәлелдеуі. х_n = q болып, e оң саны берілсін. Онда

белгілі бір номерден бастап тізбектің мүшелерінің бәрі де q–дың e-маңайында жатады, яғни

n > K_e Þ х_n ÎQ_e (q) (2)

шарты орындалатын K_e саны табылады.

Енді {х_ni} тізбекшесі берілсін (бұл бір жағынан бекітілген тізбекше; екінші жағынан, {х_n}-нің тізбекшесі болатынынан өзге шарт қойылмағандықтан — кез келген тізбекше). Әрине, (1) бойынша n > K_e теңсіздігі орындалатын i_o саны табылады. Сондықтан, (2) бойынша барлық i ³ i_o үшін х ÎO_e (q) кірістіруі орындалады, яғни х = q.

Теорема дәлелденді.

Шегі жоқ тізбекте міндетті түрде шегі жоқ тізбекше болады. Оның біреуі сол тізбектің өзі, өйткені әрбір тізбекті өзінің тізбекшесі ретінде қарастыруға болады (n_і=i болғанда).

Тізбекшенің шегін (әрине, ол бар болса) тізбектің дербес шегі дейді. Енді мынаны ескерейік: шектің мүмкін алты жағдайының ішінде тек қана үшеуіне — ол шек +¥, — ¥ және а нақты сан болғанда — өзара салыстыру амалдары анықталды (бір-бірінен үлкен, тең немесе кіші болуы).

Ал дербес шек ұғымының ең маңызды қасиеті оларды бір-бірімен салыстыра алу мүмкіндігі болады. Сондықтан, ілгеріде дербес шек ұғымын тек қана аталған үш жағдай үшін қолданамыз.

Сонымен, a - {х_n}_n³1 тізбегінің дербес шегі деген a нақты сан, +¥ немесе - ¥ болып, х_n =a тендігі орындалатын {х_n}_n³1 тізбегінің тізбекшесі табылуымен пара-пар.

2. Дербес шектер жиынының негізгі қасиеттері. А Ì [-¥,+¥] жиыны берілсін (осы пунктте жиын деп осындай жиындарды атаймыз). Егер белгілі бір {х_n} тізбегі үшін оның дербес шектер жиыны дәл осы А болса, онда А дербес шектер жиыны дейді.

Дербес шектер жиынының негізгі қасиеттерін атап өтейік (олардың кейбіреулерінің дәлелдеулері кейін беріледі).

1°. Бос жиын дербес шектер жиыны бола алмайды, яғни бірде-бір дербес шегі болмайтын тізбек жоқ (жоғарыда келісілгендей, дербес шек [-¥,+¥] сегментінен алынады).

2°. Бір элементті жиын дербес шектер жиыны болады. Әрбір шегі бар болатын тізбектің дербес шектерінің жиыны тек қана сол шектен құрылған бір элементті жиын болады (бұны жоғарыда дәлелдедік). Бұған кері тұжырымда орындалатынын біз төменде дәлелдейміз (3°-ді қараңыз). Сондықтан, алдыңғы пунктте қойылған сұраққа жауап былай беріледі: тізбектің шегі бар болуы үшін оның дербес шектер жиыны бір элементті болуы қажетті және жеткілікті.

3°. Кез келген ақырлы жиын дербес шектер жиыны болады. {а₁; а₂; …; а_m} — нақты сандар жиыны берілсін. Онда

а₁, а₂, … , а_m, а₁, а₂, …, а_m, а₁, а₂, …, а_m, … (3)

тізбегінің дербес шектер жиыны дәл сол жиын болады.

Расында да, (З)-тен әрбір k = 1, 2, …, m үшін барлық мәндері а_k санына тең тізбекше бар болатыны айқын. Әрине, сол тізбекшенің шегі де a_k болады.

Енді (3) тізбегін аналитикалық түрде жазайық (формула арқылы). Әрбір бүтін оң n санын n=m×i+k (i=0,1,2,…; k=1,2,…,m) түрінде тек қана бір тәсілмен бейнеленетінін пайдалансақ, онда (3) былай жазылады x_n=a_k (n=m×i +k). Мұнан барлық мәндері a_k санына тең тізбекшенің мысалы {х_mi+k} тізбегі болатынын көреміз.

Дәлелдеу толық болу үшін берілген жиында жатпайтын әрбір нақты сан дербес шек бола алмайтынын көрсету қажет, оны оқырманның өзіне ұсынамыз.

Егер А º {а₁; а₂; …; а_m; +¥} Ì [-¥, +¥], болса, онда (а_iÎR, i=1,2,…,m) а₁, а₂, …, а_m, 1, а₁, а₂, …, а_m, 2, а₁, а₂, …, а_m, 3, а₁, … тізбегінің дербес шектер жиыны дәл А болады.

Бұның дәлелдеуі алдыңғы жағдайдағыдай.

4°. Дербес шектер жиыны сегмент болуы мүмкін. Қажетті {x_n}_n³1 тізбегі былайқұрылады:x₁=0,1; x₁₃=0,13; x₁₇=0,17; x_17101975=0,17101975болсын, яғни әрбір оң бүтін n = c₁…c_k(n) (c_і — цифрлар) санына ондық системада жазылуына қарай x_n=0, с_1, с_2, ..., с_k(n) саны сәйкес қойылсын. c₁ =1, 2, …, 9 болғандықтан, әрбір n үшін 0,1£x_n<1 теңсіздігі орындалатыны айқын.

Енді [0,1; 1] сегментіндегі әрбір нақты сан {х_n}тізбегінің дербес шегі болатынын көрсетейік. Расында да, әрбір aÎ[0,1; 1] саны ондық бөлшек арқылы былай бейнеленеді:

a=0, c₁c₂…c_k… (c_i —цифрлар).

a-ға ұмтылатын тізбекшенің мысалы х_с =0,с₁ , х_{с с} =0,с₁с₂, …, х_{с с …с} =0, c₁c₂…c_k. болатыны айқын.

Мынаны ескерейік: [0,1; 1] сегментінде қанша нақты сан бар болса, біз сонша тізбекше құрдық.