Различные виды уравнения прямой на плоскости

Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства. Объем параллелепипеда.

Определение: Смешанным произведением 3-х векторов а,в,с называется скалярное произведение (а*[в,с]). (a,b,c)=(a*[b,c])=|a|*|[b,c]|*cosα=|a|*|b|*|c|*cosα*sinβ- Объем параллелепипеда, где α=(а˄[в,с]), β=(в˄с).

Свойства: 1. (а,в,с) = (в,с,а) = (с,а,в,) = -(а,с,в) = - (в,а,с) = -(с,в,а); 2. (а1+а2,в,с) = (а1,в,с) + (а2,в,с); 3.(µа,в,с) = µ*(а,в,с); 4. (а,в,с) = 0 – 1)а=0, в=0, с=0, 2)а,в,с = компланарны – необходимое и достаточное условие компланарности векторов . Замечание : 1.Если 3-ка векторов а,в,с входящих в смешанное произведение (а,в,с) правоориентированная, то смешанное произведение положительно. 2.Если левая, то отрицательна.

Утверждение : 1. Смешанное произведение (а,в,с) равно |Vпараллелепипеда| построенного на а,в,с как на ребрах , т.е. если 3-ка векторов правая Vпар=+V, если левая со знаком минус.

Смешанное произведение трех векторов. Его выражение через координаты векторов в ортонормированном базисе.

Е1,е2,е3 единичные векторы

а={α1,α2,α3}, b={β1,β2,β3}, c={µ1,µ2,µ3}

(a,b,c)=( α1*e1+ α2*e2+ α3*e3+ β1*e1+ β2*e2+ β3*e3+ µ1*e1+ µ2*e2+ µ3*e3)=

§ Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

§ Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости даны две произвольные различные точки, из которых одна считается первой, другая – второй. Обозначим их в заданном порядке через М1 и М2. Проведем через данные точки прямую j и назначим на ней положительное направление , тем самым мы сделаем ее осью. Пусть, далее, М – еще одна точка оси j, расположенная на ней как угодно и исключением только одного случая: она не должна совпадать с точкой М2. Число µ=М1М/ММ2, где М1М и ММ2 суть величины направленных отрезков М1М и ММ2 оси j, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок М1М2. Замечание1.Число µ не зависит от того, как выбрано положительное направление на прямой j, определяемой точками М1 и М2.

Замечание 2. Число µ не зависит и от выбора масштаба для измерения длин. В самом деле, при изменении масштаба величины отрезков на оси М1М2 умножатся на одно и то же число и следовательно отношение М1М/ММ2 не изменится.

Замечание 3. Если не исключать возможности совпадения точки М с точкой М2, то в том случае , когда М совпадет с М2, равенство не определяет никакого числа.

Различные виды уравнения прямой на плоскости.

Определение.Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.