Частично упорядоченное В-пространство

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

вопросы к экзамену 2012 г.

Интеграл Лебега.

Нулевая мера. Условие «почти всюду». Определение интеграла Лебега, его свойства. Пространства . Виды пределов в пространствах и непрерывность интеграла. Сходимость в среднем порядка p. Полнота пространств . Пространство . Понятия двойного и повторного интегралов Лебега. Измеримые множества и функции. П. в. ограниченные измеримые функции.

Метрическое пространство. Предел. Непрерывные операции.

Определение МП, свойства расстояния. Примеры конечно- и счетномерных, функциональных пространств. Шары. Окрестность точки, внутренние точки. Ограниченные, открытые множества. Точка прикосновения, замкнутое множество. Соотношение между открытыми и замкнутыми множествами. Замыкание и его замкнутость. Предел, его свойства. Непрерывность расстояния. Смысл предела в некоторых конкретных МП. Плотные множества. Примеры всюду плотных множеств функций. Сепарабельное МП. Сепарабельность подмножества. Сходящиеся в себе последовательности. Полное МП. Предкомпактное множество, его свойства. Критерий Хаусдорфа предкомпактности. Компакт. Непрерывные и липшиц-непрерывные операции. Принцип сжимающих отображений в полном МП.

Линейное пространство.

Линейное пространство (ЛП). Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейно независимые системы. Линейное подпространство. Линейный оператор. ЛП линейных операторов. Композиция. Итерация. Обратный оператор, его линейность.

Линейное нормированное пространство.

ЛНП, определение. Свойства нормы. Замкнутое линейное подпространство. Предел. Непрерывность нормы и арифметических действий. Полная система элементов. Примеры полных систем функций.

Банахово пространство (B-пространство). Ряд элементов B-пространства, достаточный признак сходимости. Линейный ограниченный оператор. Эквивалентность условий ограниченности и непрерывности для линейного оператора. Норма оператора, формулы для нормы. Примеры оценки нормы. Принцип сжимающих отображений для линейного уравнения в B-пространстве.

ЛНП линейных ограниченных операторов. Оценки норм композиции и итерации. Сильный (равномерный) и слабый (поточечный) пределы последовательности линейных ограниченных операторов.

B-пространство линейных ограниченных операторов. Ряд линейных ограниченных операторов. Ряд итераций и обратный оператор.

Положительно определённые операторы в ЛНП.

Условия существования и ограниченности обратного оператора.

Н-пространство

Определение унитарного (предгильбертова) пространства. Определитель Грама. Критерий линейной независимости системы элементов. Неравенство Коши-Буняковского. Унитарное пространство как частный случай ЛНП. Непрерывность скалярного произведения. Гильбертово пространство (H-пространство). Ортогональность. Равенство Пифагора. Система элементов, замкнутая относительно ортогональности. Замкнутость относительно ортогональности полной системы элементов. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых элементов. Ортогонализация. Базис H-пространства.

Существование конечного или счётного базиса в сепарабельном H-пространстве. Теорема о разложении элемента в ряд Фурье в сепарабельном бесконечномерном H-пространстве. Свойства ряда Фурье.

Общий вид линейного ограниченного оператора в сепарабельных H-пространствах.

Самосопряжённый оператор и его границы. Положительно определённые операторы в H-пространстве.

Положительная определенность оператора в H- и B-пространствах.

Ортогональное дополнение. Лемма о разложении элемента сепарабельного H-пространства в ортогональную сумму двух элементов.

Собственные векторы и числа (значения) самосопряженного оператора. Собственное подпространство самосопряженного компактного оператора. Максимальный элемент.

Теорема Гильберта-Шмидта о представлении самосопряжённого компактного оператора.

Альтернатива Фредгольма.

Сильное дифференцирование.

Сильное дифференцирование первого порядка. Свойства сильной производной. Метод касательных и его модификация.

Не включены в билеты в этом году: Непрерывная производная. Произведение В- и Н- пространств. Сильные частные производные. Оценки частного конечного приращения. Сильное дифференцирование состояния по управлению. Сильное дифференцирование функционалов. Необходимое условие экстремума. Необходимые условия оптимального управления.

Частично упорядоченное В-пространство.

Частично упорядоченное (ч. у.) B-пространство. Порядковый отрезок. Положительные операторы в ч. у. B-пространстве, их свойства. Мажорирование нелинейных операций. Процесс двусторонних приближений. Модифицированный метод Чаплыгина.

Обратите внимание! При подготовке к ответу на вопросы билета можно пользоваться любой дополнительной литературой, как в электронном, так и в печатном виде. К сожалению, во время самого ответа такой возможности уже не будет, поэтому обратите особое внимание на знание определений, утверждений, обозначений тех объектов и понятий ФА, которые вы используете. Повторите определения по курсу. Удачи!