Числовые характеристики вероятностных распределений

В первом случае существует плотность распределения вероятностей случайной величины x :

. (1)

Во втором случае случайная величина x принимает значения из дискретного множества A = (a₁, a₂, ... , a_k), a₁ < a₂ , ... < a_k, k £ ¥ и имеет дискретное распределение вероятностей:

. (2)

Моделирование дискретных случайных величин

Для моделирования дискретных случайных величин на практике используются распределения:

1. Распределение Бернулли:

. (3)

2. Биноминальное распределение:

. (4)

3. Геометрическое распределение:

. (5)

4. Отрицательное биноминальное распределение:

. (6)

5. Гипергеометрическое распределение:

. (7)

6. Распределение Пуассона:

. (8)

7. Дискретное равномерное распределение:

. (9)

Дискретная случайная величина принимает N < ¥ заданных значений С₀, С₁, ... , С_N-1 с вероятностями р₀, р₁, ... , р_N-1. Количественную оценку точности моделирования дискретных случайных величин позволяет получить график эмпирических и теоретических частот.

Моделирование непрерывных случайных величин

Для моделирования непрерывных случайных величин x с плотностью вероятностей f_x(x) на практике наиболее часто используются 14 распределений:

1. Равномерное распределение на отрезке [a, b]:

. (10)

2. Нормальное (гауссовское) распределение:

(11)

3. Экспоненциальное распределение:

. (12)

4. Распределение Лапласа:

. (13)

5. Логистическое распределение:

. (14)

6. Гамма-распределение:

. (15)

Г(n) - гамма-функция.

7. Распределение Вейбулла-Гнеденко:

. (16)

8. Бетта-распределение:

. (17)

9. Хи-квадрат распределение:

. (18)

10. Распределение Фишера:

. (19)

11. Распределение Стьюдента:

. (20)

12. Распределение Коши:

. (21)

13. Логнормальное распределение:

. (22)

14. Смесь двух нормальных распределений:

. (23)

По выборке реализаций непрерывной случайной величины строятся график значений случайной величины и гистограмма, которые можно использовать для качественной оценки точности моделирования непрерывных случайных величин.

Числовые характеристики вероятностных распределений

Множество числовых характеристик состоит из двух следующих подмножеств:

1. Числовые характеристики положения (сдвига):

- математическое ожидание (среднее) ; (24)

- медиана М: F(M) = 1/2; (25)

- мода ; (26)

-наибольшее а₊ и наименьшее а_- значения,

. (27)

2. Числовые характеристики рассеяния (масштаба):

- дисперсия ; (28)

- среднеквадратическое (стандартное) отклонение:

; (29)

- коэффициент вариации (если m ¹ 0) ; (30)

- размах a = а₊ - а_- ; (31)

- коэффициент ассиметрии ; (32)

- коэффициент эксцесса (островершинности):

. (33)