Эффективность и качество функционирования разновидностей СМО

Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок П_вх , интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inП_вх = l. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо l записывают l(t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Т_об распределено по показательному закону и записывается в виде: f(t) = l ^. e_l^-1 , где l - интенсивность отказов.

Состояние СМО характеризуется простаиванием или занятостью ее канала, т.е. двумя состояниями: S₀ - канал свободен и простаивает, S₁ - канал занят. Переход системы из состояния S₀ в состояние S₁ осуществляется под воздействием входящего потока заявок П_вх , а из состояния S₁ в состояние S₀ систему переводит поток обслуживания П_об: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S₀ в S₁ и обратно равны соответственно l и m. На рисунке 3.2 приведен граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями.

Для многоканальной СМО с отказами (n > 1)при тех же условиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку). Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n + 1) состояний:

S₀ - все n каналов свободны; S₁ - занят только один из каналов, остальные (n - 1) каналов свободны; S_i - заняты i каналов, (n - i) каналов свободны; S_n - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рисунке 3.3.

ln1 = l       l12 = l   li,n-1 = l                   Sn Sn-1 S0 S1 . . .                                                           l10 = m       l21 = m   l n-1, n-2 = (n-1)m   l n, n-1 = m     Рисунок 3.3 - Граф состояний многоканальной СМО

Характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО приведены в таблицах 3.1 и 3.2.

Таблица 3.1

Характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с отказами

Характеристика в момент времени t	Обозначения, формулы
1.Вероятность того, что канал свободен
2.Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию
3.Вероятность занятости канала
4.Вероятность отказа заявке
5.Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших)
6.Абсолютная пропускная споссобность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)
7.Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок
8.Среднее время обслуживания заявок
9.Среднее время пребывания заявки в системе

Таблица 3.2

Предельные характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с отказами

Характеристика в момент времени t	Обозначения, формулы
1.Вероятность того, что канал свободен
2.Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию
3.Вероятность занятости канала
4.Вероятность отказа заявке
5.Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших)
6.Абсолютная пропускная споссобность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени)
7.Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок
8.Среднее время обслуживания заявок
9.Среднее время пребывания заявки в системе

Рассмотрим примеры применения СМО с отказами для оценки эффективности деятельности субъектов рынка на ряде следующих примеров.

Пример 3.1. Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью m = 0,8 вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток вызовов клиентов с интенсивностью l = 0,9 вызовов/мин. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятности отказа р_отк телефонной линии, влияющие на итоговый доход филиала. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.

Решение:

Так как математической моделью телефонной линии является одноканальная СМО с отказами, характеризующаяся параметрами - интенсивностью входящего потока inП_вх = l = 0,9 и интенсивностью потока обслуживания inП_об = m = 0,8, то можно по формуле из таблицы 3.2 определить предельную вероятность отказа так:

р_отк = l/(l+m) = 0,9/(0,9+0,8) = 0,9/1,7 = 0,529, или 52,9 %.

Т.е., в установившемся предельном режиме их каждых 100 заявок в среднем 3 получают отказ.

Далее определим предельное значение относительной Q и абсолютной А пропускной способности СМО, используя формулы таблицы 3.2:

Q = 1 - р_отк = 1 - 0,529 = 0,471;

А = l ^, Q = 0,9 ^, 0,471 = 0,424.

Итак, из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных вызовов и случайный характер длительности разговоров порождают ситуацию, что абсолютная пропускная способность А = 0,424 разговора/мин почти в два раза меньше производительности телефонной линии m = 0,8 вызовов/мин (0,8 : 0,424 = 1,88).

Определим:

а) среднее время обслуживания (в мин) Т_об:

Т_об = 1/m = 1/0,8 = 1,25 мин;

б) среднее время простоя канала Т_пр (в мин):

Т_пр = 1/l = 1/0,9 = 1,11 мин;

в) вероятность того, что канал свободен:

р₀ = Т_пр/(Т_об + Т_пр) = 1,11/(1,25 + 1,11) = 0,47,

или р₀ = m/(l + m) = 0,8/(0,9 + 0,8) = 0,47;

г)вероятность того, что канал занят р₁:

р₁ = 1 - р₀ = l/(l + m) = 0,529, или

р₁ = Т_об/(Т_об + Т_пр) = 1,25/(1,25 + 1,11) = 0,529.

Таким образом, вероятность того, что канал занят, больше вероятности того, что канал свободен, т.е. р₁ > р₀ , и этого следовало ожидать, так как интенсивность входящего потока l = 0,9 больше интенсивности производительности канала m = 0,8.

Пример 3.2. Пусть банк принимает решение об открытии своего филиала в городе N, рассматривая его как многоканальную СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Производительность каждого канала равна m. Обслуживание одной заявки (клиента) приносит средний доход С₁. Создание одного канала обслуживания (оператора) требует средних издержек С₂, а эксплуатация одного канала в единицу времени - С₃. Требуется определить время t, через которое филиал банка (система) начнет приносить прибыль.

Решение:

Пусть случайный процесс, протекающий в СМО, перешел в предельный стационарный режим. Тогда СМО начнет приносить доход лишь в случае, если средний доход от обслуживания заявок одним каналом в единицу времени превысит средние издержки эксплуатации одного канала в единицу времени. Из условия задачи это условие имеет вид: С₁ ^, m > С₃.

Средний доход, приносимый СМО за время t ее эксплуатации в предельном режиме, можно определить как А ^, С₁ ^, t, где А - абсолютная пропускная способность СМО (среднее число заявок, обслуживаемых за время эксплуатации t. Абсолютная пропускная способность А определяется по формуле:

А = m ^, К_ср, (3.1)

где: К_ср - среднее число занятых каналов.

Средний доход D(t) за время t составит:

D(t) = С₁ ^, m ^, К_ср ^, t, t ³ 0. (3.2)

Если использовать графическую интерпретацию задачи (рис.3.1), то график D(t) представляет собой прямую (1), проходящую через начало координат под углом a, причем tg(a) = С₁ ^, m ^, К_ср.

Средние издержки за это же время С_ср(t), состоящие из издержек (C₂n) на создание n каналов и средних издержек (C₃ ^. К_ср ^. t) на их эксплуатацию за время t, соответственно составят:

С_ср(t) = С₃ ^, К_ср ^, t + С₂ ^, n . (3.3)

На графике средние издержки С_ср(t) от СМО представляют собой прямую (2), проходящую через точки A(0;C₂ ^. n) и В(1;С₃ ^, К_ср + С₂ ^, n) под углом b, причем tg(b) = C₃ ^. K_ср.

Так как tg(b) < tg(a) и, следовательно, b < a, то прямые (1) и (2) пересекутся между собой в первом квадранте. Абсциссу t₀ точки пересечения В, в которой средний доход равняется средним издержкам, можно определить из равенства: D(t₀) = С_ср(t₀), т.е.:

С₁ ^, m ^, К_ср ^, t₀ = С₃ ^, m ^, К_ср ^, t₀ + С₂ ^, n . (3.4)

Откуда получаем:

(3.5)

Таким образом, точка В выступает точкой безубыточности, т.е. через время t₀ СМО начнет приносить среднюю прибыль Р_ср, равную:

Р_ср(t) = D_ср(t) - С_ср(t) = (С₁ ^, m - С₃) ^, К_ср ^, t - С₂ ^, n . (3.6)

Если прямая средней прибыли (прямая 3) пересекается с прямой средних издержек (прямой 2), то абсцисса t₁ точки пересечения Е определяется из равенства:

Р_ср(t₁) = С_ср(t₁) (3.7)

или С₁ ^, m ^, К_ср ^, t₁ - С₃ ^, К_ср ^, t₁ - С₂ ^, n = С₃ ^, К_ср ^, t₁ + С₂ ^, n , (3.8)

откуда:

. (3.9)

Так как t₁ > 0, то из вышеприведенного соотношения имеем:

С₁ ^, m - 2 ^. С₃ > 0, откуда С₁ ^, m > 2 ^. С₃ .

Сравнив ординаты точек В и Е, получим, что в момент времени t₁ средний доход вдвое больше средних издержек.

Если же условие С₁ ^, m > 2 ^. С₃ не выполняется, т.е. С₁ ^, m £ 2 ^. С₃ , то прямые (2) и (3) в первом квадранте не пересекаются. Если С₁ ^, m = 2 ^. С₃, то эти прямые параллельны.

Задание 3.1.

Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью m вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток вызовов клиентов с интенсивностью l вызовов/мин.

Разработать имитационную модель для исследования характеристик эффективности функционирования системы массового обслуживания в зависимости от параметра - время. Построить графические зависимости характеристик эффективности функционирования системы массового обслуживания - телефонной линии (исходные данные в таблице 3.1).

Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятности отказа р_отк телефонной линии, влияющие на итоговый доход филиала. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.

Таблица 3.1

Исходные данные к заданию 3.1

Задание 3.2

Разработать имитационную модель многоканальной системы массового обслуживания банка (n - количество каналов), открывающего филиал в другом городе. На вход СМО поступает поток заявок (K_{ср -} среднее число занятых каналов). Производительность каждого канала равна m. Обслуживание одной заявки (клиента) приносит средний доход С₁. Создание одного канала обслуживания (оператора) требует средних издержек С₂, а эксплуатация одного канала в единицу времени - С₃. С использованием имитационной модели определить время t, через которое филиал банка (система) начнет приносить прибыль.

Представить графическую интерпретацию задачи и определить пути повышения эффективности функционирования СМО банка. Исходные данные представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Исходные данные к заданию 3.2