Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства

Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a₀],а₁ a₂ а₃... где а₀ÎZ а₁,а₂,а₃,... Î{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[а_о],а₁ а₂ а₃...а_к (0) = а_о + а₁/10 + а₂/100 + ... +а_к/10^k = [а_о],а₁ а₂ а₃...а’_к (9), где а’_к=а_к-1

х=[х_о],х₁ х₂ х₃...х_к...

у=[у_о],у₁ у₂ у₃...у_к...

х’_к - катое приближение икса с недостатком = [х_о],х₁ х₂ х₃...х_к

у”_к - катое приближение игрека с избытком = [у_о],у₁ у₂ у₃...у_к + 1/10^k

х’_к+1 > х’_к (х’_к - монотонно растет)

у”_к+1 £ у”_k (у”_{k -} не возрастает), т.к. у”_к=[у_о],у₁ у₂ у₃...у_к + 1/10^к

у”_к+1 = [у_о],у₁ у₂ у₃...у_к у_к+1 + 1/10^к+1

у”_к - у”_к+1 = 1/10^к - у_к+1 + 1/10^к+1 ³ 0

10 - у_к+1 - 1 / 10^к+1 ³ 0

9 ³ у_к+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’_к > у”_к

2) х = у <=> х’_к не> у”_к & у”_к не> х’_к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’n³х’к>у”к³у”n у’n³ у’m>z”m³z”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у

х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ

Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х₁=[х₁], х₁₁ х₁₂ х₁₃... |

2«х₂=[х₂], х₂₁ х₂₂ х₂₃... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х₃=[х₃], х₃₁ х₃₂ х₃₃... |

... | (*)

к«х_к=[х_к ], х_к1 х_к2 х_к3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с₁ с₂ с₃...

[с]¹[х₁] => с¹х₁

с₁ Ï {9;х₂₁} => с¹х₂

с₂ Ï {9;х₃₂} => с¹х₃

...

с_к Ï {9;х_к+1к} => с¹х_к

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => "bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ: m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что m£n

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с "aÎA, "bÎB: а£с£b

Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n₀: "n>n₀ x_N£y_N£z_N и $ Lim x_N=x, $ Lim z_N=z, причем x=z, то $ Lim y_N=y => x=y=z.

Доказательство: "n>n₀ x_N£y_N£z_N

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ x_NÎ(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” z_NÎ(х-Е,х+Е) => "n>max{n₀,n’,n”} y_NÎ(x-E,x+E)

Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение:АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аÎА а£m (а³m).

Определение:Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m

2) "e>0 $ a_EÎA, такое, что a_E>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n

2) "e>0 $ a_EÎA, такое, что a_E<a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m₁=max[10*{a-[m]:aÎA}]

m₂=max[100*{a-[m],m₁:aÎA}]

...

m_к=max[10^K*{a-[m],m₁...m_K-1:aÎA}]

[[m],m₁...m_K, [m],m₁...m_{K + 1}/10^K]ÇA¹Æ=>[m],m₁...m_K + 1/10^K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m₁...m_K - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’_K,m”_K)ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”_K

Единственность(от противного):

аÎА, пусть а>m”_K => $ к: а’_K>m”_K => а³а’_K>m”_K - это противоречит ограниченности => a£m

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда $ к: m’_K>l”_K, но так как "к [m’_K,m”_K) ÇA¹0 => $ аÎ[m’_K,m”_K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n₀: n>n₀ |а_N|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim a_N=Lim b_N=0, c_N=a_N+b_N, d_N=a_N-b_N. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности a_N, т.е. $ n’: "n>n’: |a_N|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |b_N|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |a_N|<Е/2 & |b_N|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |c_N|=|a_N+b_N|£|a_N|+|b_N|<E/2 + E/2 = E => |d_N|=|a_N-b_N| £ |a_N|+|b_N|<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть a_N - бм посл-ть, b_N - ограниченная посл-ть z_N=a_N*b_N.

Т.к. b_N - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |b_N|£с¹0

Т.к. a_N - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти a_N, т.е. $ n₀: "n>n₀ |a_N|<Е/с.Таким образом "n>n₀: |z_N|=|a_N*b_N|=|a_N|*|b_N|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть a_N - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |b_N|£a_N => b_N - бм

Доказательство: a_N - бм => $ n”: "n>n”: |a_N|<Е. Для n>=max{n’,n”} |b_N|£|a_N|<Е

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно большой (бб) если "Е>0 $ n₀: n>n₀ |а_N|>Е)

Теорема: Если a_N - бм, то 1/a_N - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" a_N-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n₀: "n>n₀ |a_N|<1/E =>1/|a_N|>Е.

"<=" 1/|a_N| - бб последовательность => "Е>0 $ n₀: "n>n₀ 1/|a_N|>1/Е => |a_N|<Е

Теорема: Пусть a_N - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность b_N³|a_N| => b_N - бб.

Доказательство: a_N - бб => $ n”: "n>n” |a_N|>Е. Для n>max{n’,n”} b_N³|a_N|>Е

Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности a_N если разность a_N-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim a_N=a, то |a_N-a|<Е. Пусть a_N=a_N-a. |a_N|=|a_N-a|<Е

Обратное: Пусть a_N=a_N-a, т.к. a_N - бм => |a_N|£Е. |a_N|=|a_N-a|<Е

Теорема: Если Lim x_N=x, Lim y_N=y, то:

1. $ Lim (x_N+y_N) и Lim (x_N+y_N)=х+у

2. $ Lim (x_N*y_N) и Lim (x_N*y_N)=х*у

3. "n y_N¹0 & y¹0 => $ Lim (x_N/y_N) и Lim(x_N/y_N)=х/у

Доказательство:

Пусть x_N=х+a_N, a_N - бм; y_N=у+b_N, b_N - бм

1) (x_N+y_N)-(х+у)=a_N+b_N (По теореме о сумме бм: a_N+b_N - бм => (x_N+y_n)-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) x_N*y_N - х*у = х*a_N+у*b_N+a_N*b_N (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: x_N*y_N - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) x_N/y_N - х/у = (у*a_N-х*b_N) / (у*(у+b_N))= (у*a_N-х*b_N) * 1/у * 1/у_N доказательство сводится к доказательству утверждения: если у_n - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/у_N тоже сходящаяся последовательность: Lim у_N=y => по определению предела получаем $ n₀: "n>n₀ |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<у_N<у/2+у, откуда получаем: |у_N|³у_N>у/2.|у_N|>у/2=>1/|у_N|<2/у => "n: 1/|у_N|£max{2/у, 1/у₁, 1/у₂,...1/у_no}

Теорема: Если х_N сходится к х, y_N сходится к у и $ n₀: "n>n₀ последовательность х_N£у_N, то х£у

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |x_N-x|<E и $n”: "n>n” |y_N-y|<E. Получаем "n>max{n’,n”} все члены посл-ти x_N будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти у_N будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)Ç(у-Е,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}: х_N>у_N - противоречие с условием => х£у.