Множинні базові лінійні структури евклідових просторів: відстань від підпростору

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР): дослідження,основні складові, концепція псевдорозв’язків. Загальна необхідна і достатня умова існування розв’язків

Дослідження СЛАР – це визначення необхідних і достатніх умов існування розв’язків, а також знаходження всіх можливих розв’язків.

Розв’язок будь-якої СЛАР складається з двох компонент:

- одного з розв’язків СЛАР

- елемента ядра.

Загальний розв'язок

Множину розв’язків оптимізаційної задачі найкращим квадратичним наближенням лівої частини СЛАР правою частиною за умови нерозв’язності СЛАР називають псевдорозв’язком СЛАР: .

Загальна необхідна і достатня умова розв’язності рівнянь:

розв'язне .

множина можливих значень.

СЛАР: множина всіх можливих розв’язків за виконання умови їх існування

Множина розв’язків, коли вони існують, є множиною найкращих квадратичних наближень.

СЛАР: множина псевдорозв’язків

Множину розв’язків оптимізаційної задачі найкращим квадратичним наближенням лівої частини СЛАР правою частиною за умови нерозв’язності СЛАР називають множиною псевдорозв’язків СЛАР:

СЛАР: спільна форма запису множини можливих розв’язків та умова їх розрізнення

За умови розв’язності СЛАР множина можливих розв’язків оптимізаційної задачі співпадає з множиною можливих розв’язків СЛАР з відповідною правою частиною.

нерозв’язна

розв’язна.

МНК-векторні спостереження

Спостереження:

функція,яка описує залежність між двома характеристиками.

Стандартним засобом розв’язання задачі оцінювання в лінійній регресії є припущення про скалярний характер і векторний характер .

Матричні СЛАР

Лінійний простір всіх матриць фіксованої розмірності (з природніми покомпонентними операціями) стає евклідовим з тим самим покомпонентним скалярним добутком, що і для простору числових векторів.

слід.

квадратна матриця.

є найменшим за нормою розв’язком або псевдорозв’язком в залежності від виконання умови.

МНК-матричні спостереження

Матричні СЛАР у лінійній регресії з векторним спостереженням:

.

.

Розв'язок матричної СЛАР:

Універсальний оптимізаційний запис множини розв’язків та псевдорозв’язків

множина розв’язків

множина псевдорозв’язків

ПдО: визначення за Пенроузом

ПдО та МНК: загальний розв'язок задачі оцінювання за МНК

Задача оцінювання:

Розв'язок:

Стандартним засобом розв’язання задачі оцінювання в лінійній регресії є припущення про скалярний характер і векторний характер .

Загальний розв'язок задачі оцінювання за МНК та розв'язок рівняння Гауса-Маркова в МНК-оцінюванні в лінійній регресії

Задача оцінювання:

Розв'язок:

Стандартним засобом розв’язання задачі оцінювання в лінійній регресії є припущення про скалярний характер і векторний характер .

Множинні базові лінійні структури евклідових просторів: відстань від підпростору

Базові структури – це ті, які найчастіше використовують у прикладних дослідженнях. Розглядають лінійні та нелінійні, множинні та синглові структури евклідового простору.

Множинні структури: лінійний підпростір , гіперплощина , еліпсоїд .

Відстань від вектора до підпростору:

Проекція вектора на підпростір описується ортогональним проектором:

оператор проектування вектора на одновимірний підпростір у просторі будь-якої розмірності