Несобственные интегралы от неограниченных функций

Примеры.

Самостоятельно вычислить:

2) Ответ: π / 2 - 1.

3) Ответ:

II. Метод замены переменной (подстановки) в определённом интеграле основывается на следующей теореме:

Пусть имеется определённый интеграл , причем f(x) непрерывна на [a,b]. Если существует функция x = φ(t), удовлетворяющая условиям:

1) φ(t) и её производная φ' (t) непрерывны на некотором сегменте [α,β];

2) φ(α) = a, φ( β) = b;

3) Значение функции x = φ(t) принадлежат [a,b] для всех t [α, β],

то справедливо равенство

(20)

Доказательство. Оба интеграла в (20) существуют, т.к. подынтегральные функции непрерывны на отрезках интегрирования. Докажем справедливость самого равенства. Если F(x) некоторая первообразная для f(x) на [a,b], то можно написать следующие равенства

Из равенства (21) следует, что а из равенства (22), что

Равенство правых частей последних двух равенств и означает выполнение равенства (20).

Замечание. При вычислении определённого интеграла по формуле (20) не нужно возвращаться к прежней переменной (как это было при вычислении неопределённого интеграла), т.к. численное значение обоих интегралов одинаково.

Примеры. 1) Вычислить

Сделаем замену переменной: x=r sint, тогда dx=r cos t dt,

Определим новые пределы интегрирования: для x=0

для x=r

Теперь имеем

Замечание. Геометрическое истолкование: мы вычислили площадь четверти круга x² + y² ≤ r² (рис. 5).

Самостоятельно вычислить:

2) Ответ: 7+2 ln2.

3) Ответ:

Несобственные интегралы.

Определённый интеграл может существовать только от ограничений на [a,b] функции и только на ограниченном отрезке [a,b] (т.е. когда длина его конечна). Различные проблемы теории и практики делают необходимым расширение понятия определённого интеграла как на бесконечные промежутки, так и на неограниченные функции. Эти обобщения получили название несобственных интегралов.

§1. Интеграл с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть f(x) есть функция, определённая и непрерывная для всех Тогда для каждого конечного b существует определённый интеграл Он изменяется вместе с b.

Определение. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке [a,+∞]).

Символически обозначают Таким образом

(1)

(существует или не существует конечный предел (1)).

Если f(x) ≥ 0, то несобственный интеграл геометрически даёт площадь бесконечной криволинейной трапеции (как предела конечной при b→ +∞) (рис.1).

Она ограничена графиком функции y = f(x), прямой х = а и осью ох.

Аналогично определяется и другой несобственный интеграл:

(2)

Несобственный интеграл понимается как сумма двух предыдущих

(3)

(с - произвольное конечное число, например 0).

Несобственный интеграл (3) сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части.

Для несобственных интегралов справедливы все свойства, отмеченные для определённых интегралов (кроме теоремы о среднем).

В простых случаях сходимость (расходимость) несобственных интегралов удается установить прямым вычислением по определению.

Примеры. 1)

Данный интеграл расходится.

Рассмотренный интеграл выражает площадь заштрихованной бесконечной области на рис. 2.

2)

Данный интеграл сходится.

Геометрически рассмотренный интеграл выражает площадь заштрихованной бесконечной области на рис. 3.

4) Самостоятельно исследовать на сходимость несобственные интегралы

a) Ответ: расходится.

b) Ответ: сходится, его значение 1.

Часто прямое вычисление несобственных интегралов затруднительно или невозможно. Тогда пытаются установить хотя бы сам факт сходимости или расходимости несобственного интеграла. Одним из наиболее простых и употребительных средств при этом является признак сравнения, который мы сформулируем в виде двух теорем и следствия

Теорема 1. Пусть для всех выполняется условие . / с - некоторое число /.

Тогда если сходится, то сходится тоже и

если расходится, то тоже расходится.

Эта теорема предполагает неотрицательность функции f(x) на [a,+∞). Если же на [a,+∞) функция f(x) принимает значения разных знаков, то применяют следующую теорему.

Теорема 2. Если сходится то сходится и

/ Его сходимость в этом случае называется абсолютной /.

Рассмотрим применение этих теорем на примерах.

1) Исследовать сходимость несобственного интеграла

Раньше мы установили сходимость ; тогда сходится тем более.

Но для всех имеем / c=1 /. Поэтому сходится.

Иногда удобно применять

Следствие. Если существует и 0 < k < + ∞, то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

В качестве функции φ(x) для сравнения часто берут функцию / α - действительное число /.

2) Рассмотрим сходимость интеграла в зависимости от α (α > 0).

1. α = 1. - интеграл расходится.

2. α ≠ 1.

I) α > 1. (т.к. b^{α - 1} → 0) - число, интеграл сходится.

II) α < 1. (т.к. b^{1 - α} → +∞) - интеграл расходится.

Заключение. Несобственный интеграл сходится для α > 1 и расходится для α ≤ 1.

3) Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Сравним функцию с функцией / α = 1 в предыдущем примере /.

на [2,+∞). При имеем Т.к. расходится (α = 1), по признаку сравнения расходится тем более.

Заметим. что прямое вычисление интеграла вообще невозможно, т.к. неопределённый интеграл не берётся в конечном виде.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Отметим сначала следующий факт: если функция f(x) имеет на [a,b] только конечное число точек разрыва и только первого рода (c₁, c₂, …, c_n), то определённый интеграл от неё существует. В этом случае

Геометрически (если f(x) ≥ 0 на [a,b]) определённый интеграл означает площадь заштрихованной фигуры / рис. 4 /.

Если же одна из точек разрыва на [a,b] второго рода с бесконечным скачком, то f(x) не будет на нём ограничена и обычный интеграл не существует. Тогда рассуждают следующим образом.

Пусть сначала функция f(x) непрерывна на [a,b] и f(x) → ∞ при x → b / рис. 5 /.

Точку x = b называют в этом случае особой. Возьмем как угодно малое число ε > 0 (ε < b - a). Функция на

[a,a - ε] непрерывна, поэтому существует Будем рассматривать (4)

Определение. Если существует конечный предел (4). его называют несобственным интегралом (второго рода) от функции f(x) на [a,b].

Итак (5)

обычно говорят. что несобственный интеграл (5) сходится (расходится), если конечный предел (4) существует (не существует). Геометрически это означает существование у заштрихованной фигуры (рис. 5) конечной (бесконечной) площади.

Если функция f(x) имеет особую точку на левом конце [a,b] /рис. 6/, то

Если f(x) имеет особую точку x = c внутри отрезка [a,b] /рис. 7/, то полагают .

Последний интеграл сходится, если сходятся оба интеграла справа.

Основные свойства определённого интеграла остаются справедливыми и для несобственных интегралов 2 рода / кроме теоремы о среднем /.

В простых случаях вопрос о сходимости интеграла решается прямым вычислением по определению.

Примеры. 1) / x=1 - особая точка / Несобственный интеграл расходится.

2) / самостоятельно / Ответ: I=2, сходится.

Когда прямое вычисление затруднительно (или невозможно), применяют признаки сходимости несобственных интегралов. Наиболее простым является признак сравнения (подобный соответствующему для несобственных интегралов 1 рода).

Теорема. Если для всех выполняется условие / c>0, c - постоянное число /, то из сходимости следует сходимость и выполнение неравенства из расходимости следует расходимость .

Следствие. Если существует конечный предел / 0<k<+∞ /, то несобственные интегралы

и сходятся или расходятся одновременно.

В качестве функции для сравнения / b - особая точка / часто берут где p - действительное число.

Рассмотрим сходимость В зависимости от p.

1) p = 1. интеграл расходится.

2) p ≠ 1.

Если p>1 (т.к. ε^1-p → ∞) - интеграл расходится.

Если p<1 - число, интеграл сходится.

Итак: сходится для p<1. расходится для p ≥ 1.

Очевидно, то же самое можно установить для

Пример. Исследовать на сходимость

. Сравним функцию f(x) с На отрезке [0,2] имеем

Но сходится (b = 2, ). Тогда по теореме сравнения и данный интеграл сходится.

Замечание. Если таков, что f(x) не ограничена в некоторой окрестности точки x = c (с - особая точка), то этот несобственный интеграл ( его можно назвать смешанным) понимается как сумма рассмотренных несобственных интегралов. Он сходится, если все интегралы сходятся одновременно.

Пример. / точка х = 2 особая / / закончить самостоятельно /

Ответ: расходится.