Декілька нерозв’язаних задач, що стосуються простих чисел

Скільки існує простих чисел?

Відповідь на це питання дає теорема

Теорема 3. Якщо п – натуральне число > 2, то між п і п! міститься хоча б одне просте число.

Отже, для кожного натурального числа існує просте число, більше нього. Звідси випливає, що простих чисел нескінченно багато, про це знав вже Евклід. Зокрема, звідси випливає, що існує просте число, яке має (в десятковій системі числення) хоча б тисячу цифр. Однак жодного такого числа ще в 1960 р. ми не знали. Найбільше відоме тоді просте число 2³²¹⁷ – 1 мало 969 цифр.

Варто відмітити, що протягом останнього десятиліття тут спостерігався значний прогрес. На початку 1951 р. найбільшим відомим простим числом було число 2¹²⁷ – 1, яке мало 39 цифр (те, що це було просте число було доведено ще у 1876 р.). В теперішній час найбільшим відомим простим числом є число 2⁴⁴²³ – 1, яке має 1332 цифри.

Звернемо увагу ще на такий факт. Переміщуючись далеко від початку натурального ряду, можна знайти які-небудь довгі інтервали послідовних натуральних чисел, серед яких немає жодного простого числа. Тим більш дивовижним здається, що в множині простих чисел існують так звані „числа-близнюки”.

Означення 3.Числами-близнюками називаються два простих числа, які відрізняються лише на дві одиниці, тобто є послідовними непарними числами.

Наприклад, 3 і 5, 1.000.000.007 і 1.000.000.009. Існує гіпотеза, що пари простих чисел-близнюків складають нескінченну множину. Але нікому до цього часу ще не вдалося довести чи спростувати цю гіпотезу.

Довгими і марними були спроби багатьох математиків знайти формулу простих чисел. Часто їм здавалося, що успіх досягнутий. Але з часом виявлялось, що знайдені формули неправильні. Одну з помилкових формул вивів навіть видатний П. Ферма. Він вважав, що всі числа вигляду F_k = 2² + 1, де k = 0, 1, 2, 3, …, будуть простими. Але в 1732 році Л. Ейлер встановив, що вже

коли k = 5, число F₅ = 2² + 1 = 2³² + 1 = 4.294.867.297 складене, бо воно ділиться на 641. Числа F_k називаються числами Ферма. Найбільше з відомих нам складених чисел Ферма є F_1945. Воно має більше 10⁵⁸² цифр. Було знайдено лише один простий дільник для цього числа, а саме: p = 5·2¹⁹⁴⁷ + 1. До цього часу не розв’язана проблема простих чисел Ферма: ще не знайдено жодного F_n =2² + 1, коли n > 5.

Як можна знайти всі прості числа, менші даного числа

Спосіб, про який буде йти мова, відомий був ще в давнину: він носить назву решета Ератосфена., Спіраль Улама

Гіпотеза Гільбрайта

Н. Л. Гільбрайт висловив у 1958 р. наступне припущення.

Якщо ми випишемо послідовні прості числа, потім у першому рядку – різницю послідовних простих чисел, у другому рядку – абсолютні величини різниць послідовних простих чисел першого рядка, у третьому – абсолютні величини різниць послідовних простих чисел другого рядка і т. д., то в кожному рядку першим буде число 1. Так, наприклад, перші 17 рядків (що знаходяться за послідовністю простих чисел) мають такий вигляд:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61

1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2

1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 4

1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 4

1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2

1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0

1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2

1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0

1 2 2 2 2 2 2 2 0 0

1 0 0 0 0 0 0 2 0

1 0 0 0 0 0 2 2

1 0 0 0 0 2 0

1 0 0 0 2 2

1 0 0 2 0

1 0 2 2

1 2 0

1 2

Гіпотеза Гільбрайта перевірена для перших 63 418 рядків. Однак ми не знаємо загального доведення її істинності.

Магічним квадратом (у широкому розумінні) з n рядками ми називаємо таблицю, складену з n² різних натуральних чисел, що виписані в n рядків (і стільки ж стовпців), таку, що суми чисел кожного рядка, кожного стовпця і чисел, що знаходяться на кожній із головних діагоналей, однакові. Відомі магічні квадрати з трьома і чотирма рядками, складені тільки із простих чисел. Наприклад, квадрати:

У першому з цих квадратів суми, про які йде мова, всі рівні 1077; у другому – 798.

Висловлено припущення, що для кожного натурального числа n ≥ 3 існує нескінченно багато магічних квадратів (у широкому розумінні), складених із n² різних простих чисел.

В Китаї і Індії магічні квадрати були відомі ще до нашої ери, але в Індії розробка математичної теорії побудови магічних квадратів досягла значних успіхів. Частково там знали загальний метод побудов магічних квадратів при довільному непарному n.

Араби запозичили у народів Індії відомості про магічні квадрати. Через рабів відомості про магічні квадрати розповсюджуються в Грецію і Візантію. Нарешті, магічні квадрати, як вся магія чисел, в Середньовіччі проникають в Західну Європу. Наведемо приклад найкращого магічного квадрату, якому приблизно 2000 років:

Декілька нерозв’язаних задач, що стосуються простих чисел

1. Ми не знаємо, чи існує нескінченно багато пар послідовних натуральних чисел, кожне з яких має тільки один простий дільник (як, наприклад, пари 2 і 3, 3 і 4, 4 і 5, 7 і 8, 8 і 9, 16 і 17, 31 і 32). Нам відомо тільки 26 таких пар, з яких найвищою є пара 2⁴⁴²³ – 1 і 2⁴⁴²³ .

2. Ми не знаємо, чи існує нескінченна множина трійок послідовних натуральних чисел, кожне з яких є добутком двох різних простих чисел. (Прикладом такої трійки може послужити трійка чисел: 33 = 3·11, 34 = 2·17, 35 = 5·7, а також трійка чисел: 93 = 3·31, 94 = 2·47, 95 = 5·19). Висловлено припущення, що таких трійок існує нескінченно багато.

3. Ми не знаємо, чи існує нескінченно багато простих чисел p таких, що для кожного натурального n < p – 1 число 2ⁿ при діленні на p дає остачу, відмінну від 1. (Такими є, наприклад, прості числа 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83). Висловлено припущення, що таких простих чисел p існує нескінченно багато.

4. Ми не знаємо, чи з кожного натурального числа n ³ 10 при зміні двох його цифр можна отримати просте число. (Для двозначних чисел це очевидно. Для трьохзначних чисел це випливає, наприклад, з того, що простими є числа 101, 211, 307, 401, 503, 601, 701, 809, 907.)

5. Ми не знаємо, чи справедлива гіпотеза А. Шинцеля, згідно якої для кожного числа x ³ 117 існує хоча б одне просте число p, яке міститься між x та x + . Цю гіпотезу А. Шинцель перевірив для всіх чисел x таких, що 117 £ x < 2·10⁷.

6. Легко довести, що серед будь-яких шести послідовних натуральних чисел принаймні одне має хоча б два різних простих дільники (оскільки завжди одне з них ділиться на 6, а отже, має простими дільниками 2 і 3).

Прості числа і містика

Суть числових забобонів і числової містики лежить в тому, що окремим числам приписується містичне, таємниче значення. Основоположниками цих забобонів є служителі різних релігій. Коріння числової містики лежать в глибокій давнині.

Одним із джерел „містичних чисел” є давні системи числення. Вважалось, що деякі з цих чисел ніби-то могли діяти на певні явища природи, попереджувати про гарні і погані новини в житті племен або окремої людини.

Коли люди навчились вже непогано рахувати і оперувати числами, вони помітили, що в навколишньому світі багато чого залежить від числових відношень.

Співставлення речей, явищ з числами перейшло від вавілонян до греків, від греків до народів Індії і арабів, а потім залишилось господарювати в середні віка і збереглось в окремих місцях до нашого часу.

Наведу приклади містичних догадок, які відносяться до окремих чисел натурального ряду і історичні факти, які до деякої міри пояснюють причину їх виникнення.

Одиниця.Піфагорійці вчили, що 1 означає дух, із якого виникає видимий світ; одиниця є розум, добро, гармонія, щастя і в той же час матерія, темнота, безлад; вона поєднує в собі парне з непарним і чоловіче з жіночим.

Чому одиниці піфагорійці надавали такої поваги в своїх догадках? Одиниця – найменше натуральне число, яке має деякі характерні властивості, а саме:

а) одиниця не відноситься ні до простих, ні до складених чисел;

б) кожне натуральне число має дільником одиницю;

в) одиниця є єдиним натуральним числом, яке має тільки один дільник;

г) одиниця – єдине натуральне число, степінь якого рівна тому ж
числу;

д) після множення (або ділення) якого-небудь числа на 1 це число не змінюється;

є) після ділення якого-небудь числа, не рівного нулю, самого на себе в результаті отримуємо 1.

П'ять і сім.Вони відіграли велике значення в продовженні натурального ряду чисел. Довгий час залишались найбільшими числами, які мали особисту назву. П'ять – це сума першого парного числа 2 і першого непарного числа 3, що відповідає різниці між чоловічим і жіночим початком і тому сума цих чисел рівна 5 є символом шлюбу.

Недавні дослідження показують, що число „сім^” було ведучим в будові орнаментів на бляхах, фігурках жінок і інших предметах із періоду палеоліту.

В той же час число „сім” приховує в собі іншу таємницю: наприклад, 7 - число днів створення світу, 7 днів в тижні, 7 музичних нот, 7 смертельних гріхів, 7 кольорів веселки.

Одинадцять.Як тепер встановлено, зміни активності Сонця впливають на здоров'я людей. Ці зміни відбуваються періодично приблизно через 11 років. Мабуть наші предки помітили цю періодичність і почали вважати число 11 недобрим числом.

Сімнадцять.Піфагорійці вважали число сімнадцять зневажливим і уникали його. Своє відношення до цього числа вони пояснювали тим, що воно лежить між повним квадратом (16 = 4² ) і подвоєним квадратом (18 = 2·3²). До того ж 16 і 18 єдині числа, для яких периметр прямокутника рівний його площі.

Виникнення чисел у житті не випадковість. Важко уявити собі спілкування без використання чисел. Історія чисел захоплююча й загадкова. Людство встановило низку законів і закономірностей світу чисел. Без чудової науки про числа – математики – немислимо сьогодні минуле, ні майбутнє. А скільки ще нерозгаданого!

В ході виконання дослідницької роботи я задумалася, наскільки добре учні нашої школи обізнані по темі «Прості числаа»? Виявити ступінь інформованості дозволила практична робота «Опитування учнів школи за темою» .

Район дослідження: Швайківська ЗОШ

Об'єкти спостережень і досліджень: учні Швайківської ЗОШ

Предмети спостережень і досліджень: знання учнів за темою «Прості числа»

Кількість опитаних: 27 чоловік.

Склад: учні школи.

Питання та результати: таблиця 2.

Таблиця 2.Результати опитування

Висновки: Проводячи опитування з теми дослідження, я переконалася, що більшість учнів знають тему «Прості числа» в обсязі шкільної програми. Але, на жаль, у ході опитування учні не вказали застосування теми при розв'язуванні олімпіадних задач та при вирішенні завдань ЗНО. І так само мало учні знають цікавих фактів пов'язаних з простими числами.

Висунута на початку роботи гіпотеза підтвердилася. Поняття та властивості простих чисел необхідна основа вивчення математики.

Математиці і, зокрема, числам присвячено навіть вірші:

Вись, шир, глиб. Лиш три координати.

Поза них де шлях йде до орбіт?

З Піфагором слухай сфер сонати,

Зчислюй атоми, як Демокріт.

Шлях по числах? - Приведе до Рима він

(Розум шле туди свій кожен шлях!).

Та ж у новім - Лобачевский, Ріман,

Та ж вузька вуздечка у зубах!

( В. Брюсов.)

Нам любе все – і пал холодних чисел,

І дар божественних ведінь...

(О. Блок.)