Нечеткий регулятор для управления неустойчивым объектом

Практические примеры построения ИСУ с нечеткими регуляторами

Уже упоминалось, что теория нечетких множеств имеет как многочисленных сторонников, так и немало критиков. Многие ученые сомневаются в том, что эта теория сможет содействовать решению практических задач, недоступных обычным методам теории вероятностей и случайных процессов. Об этом пишет, в частности, известный французский математик проф. А. Кофман [19]: "Выступая на различных конференциях на тему о теории нечетких подмножеств, я всегда слышу одни и те же слова: "То, что было сделано с помощью этой теории, можно с таким же успехом сделать и без нее..."

И хотя рассмотренные выше материалы уже дают определенное представление о преимуществах и уникальных возможностях нечетких алгоритмов управления, приведем еще несколько конкретных примеров, демонстрирующих эффективность их применения в различных технических приложениях.

Нечеткий регулятор для управления неустойчивым объектом

Проблеме управления перевернутым маятником (inverted pendulum) посвящено большое число работ [12,17,26 и др.]. Результаты этих исследований часто используются в качестве методических примеров, когда требуется показать возможность управления неустойчивым объектом с помощью методов техники регулирования.

Конструктивно объект управления выглядит следующим образом (рис. 4.1).

К тележке, масса которой равна М, прикреплен с помощью вращательного шарнира длинный стержень, имеющий массу и длину . Получим уравнения движения объекта - отдельно для стержня и для тележки.

Рис. 4.1. Конструкция перевернутого маятника

Прежде всего вычислим вращающие моменты, приложенные к стержню относительно точки О его крепления к шарниру и вызванные действием силы тяжести стержня

,

а также внешней силы , приводящей в движение тележку,

.

Тогда, учитывая, что момент инерции стержня относительно точки О равен , можно записать условие равновесия моментов, приложенных к стержню:

. (4.1)

Аналогично найдем проекции на ось сил, действующих на систему "тележка - стержень":

- тангенциальная сила, возникающая при вращении стержня;

- радиальная сила для вращающего стержня;

- сила трения;

- сила, развиваемая со стороны двигателя

Тогда условие равновесия указанных сил принимает вид:

(4.2)

Будем полагать, что цель управления заключается в балансировании стержня, т.е. поддерживании его в примерно вертикальном положении за счет изменения силы .

При решении этой задачи классическими методами обычно делают много упрощений (пренебрегают силой трения, массой стержня по сравнению с массой тележки, ошибками измерения и т.д.). Сделанные упрощения в предположении о малости возмущений, отклоняющих стержень от вертикали (т.е. положения его неустойчивого равновесия), дозволяют получить линеаризованные уравнения движения

; . (4.3)

Вместе с тем синтезированный на основе математической модели (4.3) алгоритм управления является чересчур идеализированным и имеет малую практическую ценность. Приведем по этому поводу следующее весьма характерное высказывание [17]: "Как только математические методы начинают применяться к реальности, они сразу перестают быть точными. Следовательно, точные методы не имеют непосредственного отношения к реальному миру".

При решении сформулированной задачи с помощью методов нечеткой логики вовсе не требуется количественного знания поведения системы, достаточно иметь качественное описание ее поведения на основе лингвистических выражений (правил). Это аналогично тому, как человек может балансировать с шестом в руке, не зная соответствующей математической модели системы. Это происходит обычно бессознательно, путем использования правил типа: "Если шест наклоняется вправо, то я должен двигать руку также слегка вправо", и т.п.

Применительно к данной задаче требуется ввести в базу правил 4 лингвистические переменные [26]: "Угловая ошибка" , "Скорость вращения" W, "Ошибка по положению" и "Сила" F. Для переменных и F вводятся по 7 значений (термов): NL - "отрицательное большое"; NM -"отрицательное среднее"; NS - "отрицательное малое"; Z - "нулевое (нормальное)"; PS - "положительное малое"; РМ - "положительное среднее"; PL - "положительное большое", а для переменных W и - по 5 значений: NM, NS, Z, PS и РМ.

При этом база правил определяется с помощью 19 отдельных правил (табл. 4.1). Базу правил можно также представить с помощью матричного описания - в виде табл. 4.2.

Значения переменной F в зависимости от уровня ошибки по положению приведены здесь отдельной строкой.

Функции принадлежности для соответствующих лингвистических переменных , W, и F показаны на рис. 4.2. Как видно, особенно большое значение уделяется изменению переменных "Угловая ошибка" и "Сила" в окрестности нуля, поскольку даже незначительные изменения наклона стержня оказывают большое влияние на устойчивость его положения. Рассматривался следующий диапазон изменения переменных: Угол = (м); Угловая скорость = (рад/с). Для дефаззификации использовался метод центра тяжести. Результаты моделирования на ЭВМ и испытаний специально созданной для этих целей лабораторной установки, управляемой с помощью компьютера, подтвердили высокую работоспособность предложенных алгоритмов в широком диапазоне изменения переменных. Как показали эти исследования, решающее влияние на поведение системы при этом оказывает выбор правил управления. В то же время, малые вариации нечетких множеств оказывают малое влияние на показатели качества системы.

Рис. 4.2. Функции принадлежности лингвистических переменных