ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ГРАНИЦЬ ТА ПОХІДНИХ

Границі

Число А називається границею функції f(x) при , якщо для будь-якого найменшого έ > 0 знайдеться таке δ > 0, що | f(x)-A | < έ при

|x-a| < δ.

Це записується так: .

Аналогічно, , якщо |f(x)-A|< έ при | x | > N.

Якщо , то функція f(x) називається нескінченно великою при .

Якщо , то функція f(x) називається нескінченно малою при .

Практичне обчислення границь базується на наступних теоремах:

1.

2.

3. / при умові ≠0.

Також використовують наступні границі:

Перша визначна границя: .

Нескінченно малі, відношення яких дорівнює одиниці, називаються еквівалентними, тобто взаємозамінними (пишуть sinx ~ x).

Друга визначна границя:

При обчисленні границь зустрічаються деякі невизначенності, наприклад: , тощо.

Щоб позбутися невизначенностей, використовують деякі алгебраїчні перетворення, а саме: розклад многочленів на множники, використовують формули скороченного множення, щоб позбутися ірраціональності у виразах, використовують властивості логарифмів та прогресій.

При розв"язуванні прикладів корисно мати на увазі наступні рівності:

Приклади обчислення границь:

1. = = = =

2. = = = = 1

3.

4.

5. = Маємо числову геометричну прогресію, кількість

членів n, знаменник q . За формулою суми прогресії маємо ₌

= = = .

6 . = = = = = .

7. = =

= =

=

8. = = = = 0.

9.

10. = = = = .

11. = =

= = .

12.

13.

14. = = = =

= =

16.

17.

Порівняти і .

Нескінчено малі величини і при порівнюються між

Собою шляхом обчислення границі їх відношення.

- нескінчено мала величина того ж самого порядку малості , що і .

Застосування границь для визначення розривів та

Побудови графіків функцій.

Побудувати графік функції:

Зробимо дослідження 2-х точок розглянемо границі зліва і справа.

, .

Значення границь співпадають, тому в точці x = 0 функція - неперервна.

В точці x = 4 функція має розрив I роду .

y

4 x

Диференціювання складних функцій:

1.y = ln = (ln(1+tgx) – ln(1-tgx))

= = .

2. y = . Прологарифмуємо обидві частини рівності по основі е :

lny = tg x · ln x , тепер продиференцюємо:

=

( ).

3. .Прологарифмуємо обидві частини рівності по основі е:

= , тепер продиференцюємо:

Диференціювання неявних функцій (розглядаємо всі складові як складні функції від x).

1.

Усі доданки, що містять похідну, переносимо в ліву частину рівності

_.

_2.

_{тобто .}

Диференціювання параметричних функцій.

Відомо, що

1. , . Тоді .

2.

Застосування правила Лопіталя.

Обчислити .Нехай ,

Маємо

Маємо невизначенність , отже , можемо застосувати правило Лопіталя (замість обчислення відношення функцій обчислити границю відношення похідних цих функцій ) :

Деякі застосування похідної

Задача1.Обчислити

Використовуємо формули:

тобто маємоформулу (1)

Задача 2.

Написати рівняння дотичної та нормалі до графіка функції

Рівняння дотичної та нормалі .

Задача 3.

Підяким кутом пряма перетинає криву

Позначимо кут між прямою та кривою через (це кут між прямою та дотичною до кривої). Відомо, що , тоді для прямої кутовий коефіцієнт К₁=0.

Запишемо рівняння дотичної до графіка функції в точці М (x₀; 0,5): Якщо y = 0.5, то х₀ = arccos 0.5 = .

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ГРАНИЦЬ ТА ПОХІДНИХ

Дослідити функцію та побудувати її графік.

1). Область визначення (ОВ): , тобто ;

2). Область значень(ОЗ): ;

3). Парність функції : y(x), -y(x) -функція ні парна, ні непарна.

4). Знайдемо екстремуми функції:

Щоб знайти критичні точки, прирівняємо до 0:

маємо 2 критичні точки: х = -1 та х = -2, але х = -1 не входить в ОВ.

Перевіримо, чи є точка х = -2 екстремумом: визначимо знак похідної у околі критичної точки:

Очевидно, що х = -2 є екстремумом (точка максимуму). Знайдемо сам екстремум: . Тобто М(-2 ; -7,4) - точка максимуму.

5). Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат:

маємо А(0;1)- точка перетину з ОУ

, але це неможливо, бо .

Робимо висновок, що точок перетину з ОХ немає.

6). Визначимо асимптоти: а) вертикальні : .

Перевіримо точку х = -1:

;

Робимо висновок, що х = -1є вертикальною асимптотою.

б) горизонтальні: , тобто горизонтальна асимптота є: y = 0.

в) похилі : = ;

тобто похилих асимптот немає, тому що y = 0 - це горизонтальна асимптота.

Побудуємо графік:

Таблиця похідних

1. Деякі випадки:

2.

3. =

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

МАТЕМАТИЧНИЙ

АНАЛІЗ