Вільні згасаючі електромагнітні коливання. Диференційне рівняння та його розв’язок. Основні поняття та характеристики

Міністерство освіти та науки україни

Ужгородський державний університет

Інженерно-технічний факультет

Кафедра приладобудування

Ю.Іл. Тягур

Методичні вказівки

До розв’язку задач

З курсу

«Загальна фізика»

(розділ: «Електромагнітні коливання та хвилі»)

Ужгород – 2000

Тягур Юрій Ілліч.

Методичні вказівки до розв’язку задач з курсу «Загальна фізика» (розділ «Електромагнітні коливання та хвилі»).

В методичній розробці викладені основні положення електромагнітних коливань та електромагнітних хвиль. Розглянуто параметри та характеристики вільних незгасаючих, вільних згасаючих і вимушених гармонічних електромагнітних коливань. Приведено розв’язки основних типів задач по названій темі.

Методична розробка рекомендована для студентів інженерно-технічного факультету.

Схвалено Методичною комісією інженерно-технічного факультету УжДУ, протокол №___ від «___» ______ 2000 року.

Затверджено Вченою радою інженерно-технічного факультету УжДУ, протокол №___ від «___» _______ 2000 року.

Автор: Тягур Юрій Ілліч,
кандидат фіз.-мат. наук,
старший науковий співробітник, доцент.

Рецензенти: Славік Володимир Миколайович,
кандидат фіз.-мат. наук, доцент.

Туряниця Іван Іванович,
кандидат фіз.-мат. наук,
старший науковий співробітник, доцент.

Відповідальний за випуск:

Тягур Юрій Ілліч,
кандидат фіз.-мат. наук,
старший науковий співробітник, доцент.

Вступ

Методичний посібник написаний з курсу загальної фізики розділ: «Електромагнітні коливання та хвилі».

В параграфах цього розділу викладено теоретичну частину; приведені основні закони, формули та співвідношення знання яких є необхідними для розв’язування задач і закріплення теоретичного матеріалу студентами при самостійній роботі на практичних заняттях.

Після викладення теоретичних питань в методичному посібнику приведені і обговорюються задачі даної теми, даються загальні методи та прийоми їх розв’язку.

Відомо, що для розв’язування задач, як правило, є недостатнім формальне знання фізичних законів. Для цього необхідні знання спеціальних методів та підходів для розв’язку тематичних груп задач. Але в ряді випадків, таких загальних методів не існує. Тоді головним, що сприяє успіху (окрім знання теорії) є здатність аналітично мислити, міркувати, уявляти, аналізувати фізичні явища, процеси (задачі).

Питанню вироблення навиків у студентів аналітично мислити при вивченні курсу фізики присвячений цей методичний посібник, який поповнює недостатню кількість такої літератури на українській мові.

Тема 3.

Електромагнітні коливання та хвилі.

Основні відомості.

3.1.Вільні незгасаючі електромагнітні коливання. Диференційне рівняння та його розв’язок. Основні поняття та характеристики.

Електромагнітні коливання виникають в коливних контурах, які складаються із конденсатора ємністю і котушки індуктивністю , з’єднаних в коло (рис.3.1.1).

Рис.3.1.1. Коливний контур для вільних незгасаючих електромагнітних коливань

Конденсатор, маючи заряд , буде розряджатися через котушку індуктивності. Струм розрядки створить електромагнітне поле, яке, в свою чергу, забезпечить заряд конденсатора, але протилежної полярності. Сила струму та напруга будуть змінюватися в часі за періодичним законом. Коливання не будуть згасати (затухати) тільки при умові, що коливальний контур не містить активних опорів .

Періодичні електричні коливання напруги та струму, викликані періодичними коливаннями заряду в коливальному контурі, створюють електромагнітну хвилю.

Нехай маємо:

– електрична ємність конденсатора;

– індуктивність котушки;

– миттєве значення заряду на конденсаторі;

– максимальне значення заряду на конденсаторі;

– миттєве значення сили струму через котушку;

– миттєве значення напруги на конденсаторі;

– миттєве значення напруги на котушці.

В кожен момент часу напруга на котушці і конденсаторі повинна бути рівна одна одній за величиною і протилежна за знаком, тобто

(3.1.1)

де

(3.1.2)

Звідси випливає

(3.1.3)

Рівняння (3.1.3) розділимо на , введемо позначення:

(3.1.4)

і перепишемо у вигляді:

(3.1.5)

Рівняння (3.1.5) є диференціальне рівняння незгасаючих електромагнітних коливань.

Розв’язком рівняння (3.1.5) є рівняння (3.1.6):

, (3.1.6)

яке описує зміну заряду з часом на обкладках конденсатора.

Миттєве значення напруги на конденсаторі отримаємо з рівняння (3.1.6), розділивши його ліву і праву частину на величину електроємності :

(3.1.7)

Миттєве значення струму знайдемо, якщо продиференціюємо вираз (3.1.6). Тоді:

, (3.1.8)

де – максимальне значення сили струму (амплітуда сили струму). Тому рівняння (3.8) можна записати у вигляді:

(3.1.9)

Циклічну частоту вільних незгасаючих електромагнітних коливань визначають із рівняння (3.1.4). Це рівняння можна отримати також із рівності ємнісного і індуктивного опорів.

Відомо, що

(3.1.10)

(3.1.11)

Тоді з умови, що , маємо:

(3.1.12)

(3.1.13)

(3.1.14)

Але відомо, що

(3.1.15)

З рівнянь (3.1.14) та (3.1.15) знайдемо період коливань :

(3.1.16)

де – період, [c]; – індуктивність контуру, [Г]; – ємність контуру, [Ф].

Таким чином, період вільних незгасаючих електромагнітних коливань визначається за формулою (3.16), яка називається формулою Томсона.

Вільні згасаючі електромагнітні коливання. Диференційне рівняння та його розв’язок. Основні поняття та характеристики

Розглянемо коливний контур, який складається з конденсатора ємністю , котушки індуктивністю і резистора з омічним опором , з’єднаних послідовно (рис.3.2.1).

В такому коливному контурі сума всіх миттєвих значень напруг на його складових повинна бути рівна нулю.

(3.2.1)

де

(3.2.2)

а – миттєве значення напруги на активному опорі .

Враховуючи записане, рівняння (3.1) перепишемо у вигляді:

(3.2.3)

Розділимо рівняння (3.2.3) на і введемо позначення:

(3.2.4)

(3.2.5)

Тоді рівняння (3.2.3) матиме вигляд:

(3.2.6)

Рівняння (3.2.6) є диференційне рівняння вільних згасаючих електромагнітних коливань.

Розв’язком рівняння (3.2.6) є рівняння (3.2.7), яке описує зміну заряду з часом на обкладках конденсатора в контурі (рис.3.2.1);

(3.2.7)

де – початкові амплітуда та фаза, які визначаються із початкових умов;

– амплітуда вільних згасаючих коливань;

– циклічна частота вільних згасаючих коливань.

Циклічна частота та період

Циклічна частота вільних згасаючих коливань визначається рівнянням:

(3.2.8)

Тоді період для –коливальних контурів знаходять за формулою:

(3.2.9)

де – циклічна частота вільних незатухаючих коливань, які встановлюються в контурі при умові ;

– коефіцієнт згасання, який характеризує швидкість згасання вільних згасаючих електромагнітних коливань.

Рівняння (3.2.9.) є рівняння Томсона для вільних згасаючих електромагнітних коливань.

Стала часу

Іноді згасання коливань характеризують сталою часу – величиною, оберненою до коефіцієнта згасання:

(3.2.10)

Для того, щоб встановити фізичний зміст сталої часу, розглянемо амплітуди коливань у початковий момент часу і в момент часу . Для згасаючих коливань амплітуда в початковий момент часу є рівна . Для моменту часу амплітуда є рівною:

(3.2.11)

Отже, стала часу – це проміжок часу, протягом якого амплітуда вільних згасаючих коливань зменшується в –раз.

Логарифмічний декремент затухання

Часто, окрім чи , користуються поняттям декремента затухання – логарифмічним декрементом затухання.

Декремент затухання показує, яка частина енергії витрачається в контурі на тепло за половину періоду:

(3.2.12)

де – втрати енергії в контурі за половину періоду на тепло;

– повна енергія коливань.

Повна енергія коливань в контурі:

(3.2.13)

Знайдемо втрати енергії на тепло за половину періоду:

(3.2.14)

де – ефективне (діюче) значення сили струму:

(3.2.15)

– активний опір; – час ( в даному випадку ). Отже:

(3.2.16)

Звідси:

Але , тому:

(3.2.17)

Встановимо зв’язок декременту затухання з амплітудою коливань. Якщо в якийсь момент часу амплітуда коливань

(3.2.18)

то через період вона дорівнюватиме:

(3.2.19)

Знайдемо відношення амплітуд:

(3.2.20)

Обчислимо натуральний логарифм від обох частин рівності (3.20):

(3.2.21)

Вище ми бачили, що , отже:

(3.2.22)

Цей вираз можна вважати означенням декремента затухання. Він є справедливий для будь-якого моменту часу. Можна сказати: натуральний логарифм відношення двох послідовних амплітуд (амплітуди віддалені одна від одної на один період) дорівнює декременту затухання.

Найпростіше декремент затухання можна визначити з графіка власних коливань, вимірявши дві послідовні амплітуди і знайшовши натуральний логарифм їх відношення

(3.2.23)

Хвильовий опір

Під час вільних коливань у контурі між напругою і силою струму встановлюється певне співвідношення, яке визначається параметрами контуру. Сила струму в двох контурах при однаковій амплітуді напруги може бути різною. Тому контур характеризу-ють так званими хвильовим (або характеристичним) опором.

Маємо –контур . Максимальне значення енергії магнітного поля котушки визначається за формулою:

(3.2.24)

Максимальне значення енергії електричного поля конденсатора :

(3.2.25)

Якщо знехтувати втратами енергії в контурі (тобто маємо вільні незатухаючі електромагнітні коливання), то:

(3.2.26)

Підставляючи в рівність (3.26) значення і , можемо знайти співвідношення між амплітудою сили струму і амплітудою напруги :

(3.2.27)

(3.2.28)

(3.2.29)

де – хвильовий (характеристичний) опір. Розмірність є такою самою як і розмірність опору.

Щоб з’ясувати фізичний зміст характеристичного опору, розглянемо два контури, частота власних коливань яких однакова, а ємність конденсаторів різна (наприклад ). Обидва конденсато-ри заряджаються до однакової напруги. Але в першому контурі запас енергії буде менший, ніж у другому. Відповідно й амплітуда сили струму в першому контурі буде менша. Тому вважають, що хвильовий опір першого контуру більший, ніж другого.

Параметр затухання контуру та добротність

Затуханням контуру називають відношення його активного опору до хвильового :

(3.2.30)

Добротність контуру є величина, обернена до затухання :

(3.2.31)

Добротність коливального контуру також зв’язана з логарифмічним декрементом затухання:

(3.2.32)

Оскільки , то зв’язок між добротністю контуру і величинами реактивних опорів контуру для власних коливань має вигляд:

(3.2.33)

(3.2.34)

Добротність контуру в основному визначається добротністю котушки, оскільки втрати енергії в конденсаторі незначні, порівняно з втратами в котушці. Добротність якісних контурів, які мають надійну ізоляцію і добре провідну поверхню провідників, дорівнює 200–300. Добротність контурів середньої якості становить кілька десятків одиниць.