Векторний добуток двох векторів

МАТЕМАТИЧНИЙ ДОДАТОК

Вектори. Дії з векторами

Проекція вектора

7.1.1.1. Проекції векторів , , на вісь х – це довжини відрізків а_х, , відповідно, що визначаються так, як показано на рис. 7.1.1.

7.1.1.2. Проекція вектора на осі х та у знаходять аналогічно (рис. 7.1.2). Величини проекцій на осі х та у рівні відповідно:

a_x =a cosα та a_y = a sinα

Використовуючи одиничні вектори (вектори одиничної довжини, що направлені вздовж осей х та у ,так звані направляючі орти), у векторній формі можна записати:

.

Приклад. Використаємо значення проекцій сил, що діють на осі х та у при русі тіла по похилій площині вниз (рис. 7.1.3). У векторній формі другий закон Ньютона для тіла на похилій площині має вигляд:

.

У проекціях на осі:

на вісь x: ;

на вісь y :

7.1.1.3.У просторі довільний вектор можна виразити через його проекції на осі, використовуючи поняття про одиничні вектори вздовж цих осей:

.

Приклад.У механіці використовується поняття радіус - вектор матеріальної точки. Радіус-вектор є вектором, що направлений з початку координат у точку, в якій знаходиться матеріальна точка в даний момент часу (рис. 6.1.4). Таким чином, радіус-вектор має початок у точці (0,0,0); (х, у, z) - координати його кінця. З іншого боку х, у, z є проекціями вектора на осі х, у, z. Можна записати:

.

Величина модуля вектора може бути виражена через величини проекцій радіус-вектора на осі х, у, z:

.

Добуток вектора на скаляр

Добутком скалярної величини с на вектора є вектор , що має напрямок вектора , а його величина (модуль) дорівнює добутку скаляра с намодуль вектора , тобто: . На рис. 7.1.5 показано, що залежно від величини с модуль вектора може приймати значення як менше, ніж модуль вектора (с<1), так і більше, ніж модуль вектора (с>1). Зрозуміло, що в випадку с=1 вектор = .

Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів є скалярна величина, що чисельно дорівнює (рис. 7.1.6):

.

Можна переписати визначення скалярного добутку в іншому вигляді:

Тут a_x – проекція вектора на вісь, що збігається з напрямком вектора .

У загальному випадку двох векторів у просторі їх скалярний добуток виражається через проекції цих векторів на всі три осі координат:

.

Приклади. 1. Елементарна механічна робота є скалярним добутком вектора сили на вектор переміщення (рис. 7.1.7):

= .

Тут – проекція сили на напрямок переміщення.

2. Миттєва потужність – це відношення елементарної роботи до часу, за який ця робота виконана:

З іншого боку, використовуючи визначення роботи, отримаємо вираз, що свідчить, що миттєва потужність є скалярним добутком векторів сили та миттєвої швидкості (див. рис. 7.1.7):

Векторний добуток двох векторів

Векторним добутком двох векторів є вектор, який позначається

або = на відміну від позначення скалярного добутку .

Векторним добутком двох векторів називається третій вектор, що знаходиться так:

а) величина вектора , тобто модуль векторного добутку (модуль вектора ) рівна:

;

б) за напрямком вектор направлений перпендикулярно до площини, в якій лежать вектори та . Напрямок визначається за правилом правого гвинта (рис. 7.1.8).

Таким чином важливо, який вектор в добутку стоїть першим, тобто:

, .

На відміну від скалярного добутку, для якого виконується умова:

,

векторний добуток характеризується властивістю:

,

тобто переставлення векторів у добутку дає прямо протилежні вектори.

Таким чином важливо, який вектор в добутку стоїть першим, тобто:

, .

На відміну від скалярного добутку, для якого виконується умова:

,

векторний добуток характеризується властивістю:

,

тобто переставлення векторів у добутку дає прямо протилежні вектори.

Приклади:1. Лінійна швидкість зв’язана з кутовою швидкістю співвідношенням, яке в векторній формі є векторним добутком кутової швидкості на радіус – вектор:

.

На рис. 1.1.6 розд.1 показано, яким чином знаходять напрямок вектора лінійної швидкості, що є векторним добутком двох інших векторів – кутової швидкості та радіус-вектора.

2. У загальному випадку силу Лоренца можна записати, використавши векторний добуток:

.

З останнього виразу видно, що вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори та .

3. Вектор, що показує напрямок розповсюдження електромагнітної хвилі (так званий вектор Пойнтінга) є векторним добутком векторів напруженостей електричного та магнітного поля:

.

Легко переконатись (рис. 7.1.9), що зміна взаємного розміщення векторів та призводить до зміни на протилежний напрямку розповсюдження електромагнітної хвилі. Це узгоджується з властивістю векторного добутку (як вектора) змінювати напрямок на протилежний при переставленні векторів у добутку.

Сума та різниця векторів

Сума двох векторів – це третій вектор, що знаходиться за „правилом паралелограма” (рис. 7.1.10, а).

Таким чином, сумою двох векторів є третій вектор, що побудований, як діагональ паралелограма, сторонами якого є ці два вектори. У випадку, коли є більш, ніж два вектори, можна користуватись ще й таким правилом: у кінець першого вектора переміщають (паралельним перенесенням) початок другого, в кінець другого, аналогічно, поміщають початок третього і т.д. Сумою векторів буде вектор, що з’єднає початок першого з кінцем останнього вектора. На рис. 7.1.10, б показано знаходження суми трьох векторів , та .

Різниця векторів –це третій вектор, що з’єднує кінці двох векторів, які виходять з однієї точки. Напрямок вектора різниці двох векторів вибирають у бік того вектора, від якого віднімають. Це видно з рис. 7.1.11, а та б. Різниця двох векторів за величиною (модулем) може бути більшою, ніж кожен з векторів, різницю яких знаходять. У багатьох фізичних задачах йдеться про зміну векторної фізичної величини за якийсь відрізок часу, яка є різницею кінцевого та початкового значення даної фізичної векторної величини.

Приклади.1.У процесі рухуположенняматеріальної точкихарактеризується радіус-вектором. При переході від одного значення радіус-вектора у момент часу t₁ до у наступний момент часу t₂ вектор змінився на

.

Вектор, що з’єднує початкове та кінцеве положення радіус-вектора називається вектором переміщення (див. рис. 7.1.4). Вектор переміщення, таким чином, є зміною радіус-вектора чи приростом радіус-вектора.

2. При абсолютно пружному ударі (а. п. у.) кулька масою m відбивається від перешкоди зі швидкістю, що за величиною рівна швидкості падіння на перешкоду. При падінні перпендикулярно поверхні вектор швидкості змінюється на рівний за величиною та протилежний за напрямком (рис. 7.1.12,а).

Зміна імпульсу матеріальної точки рівна різниці векторів імпульсу після та до удару (рис. 7.1.12, б). Модуль цієї різниці (зміна імпульсу) буде вдвічі більшим, ніж величина імпульсу mV, тобто:

.

При абсолютно непружному ударі (а. н. у.) кулька зупиняється (як пластилінова кулька, що прилипла до стінки при ударі), а її швидкість стає рівною нулю (рис. 7.1.12 а та б). В цьому випадку величина зміни імпульсу буде вдвічі менша, ніж при абсолютно пружному ударі: , тобто .

Висновки цієї простої механічної задачі на визначення зміни імпульсу, що базуються на знаходженні різниці двох векторів, неодноразово використовуються в різних розділах фізики, наприклад при підрахунку тиску ідеального газу; тиску, що створює світло на поверхні з різними відбивальними властивостями тощо.

Похідна функції

Нехай у є функцією аргументу х. Цю функціональну залежність запишемо в вигляді у(х). При зміні аргументу на величину значення функції зміниться на величину . Похідною називається границя, до якої наближається відношення приросту функції до приросту аргументу, при якому пройшов цей приріст (при наближенні до нуля)

.

Похідна характеризує швидкість зміни функції у при зміні аргументу x.

Найпростіші похідні, якими користувалися у посібнику:

у = с, постійна величина, що не залежить від х у^/. = 0

у = сх, лінійна залежність у^/ = c

у = сх² квадратична залежність у^/ = 2cх

у = схⁿ показникова функція (загальний випадок) у^/ = ncx^n-1

(тобто n=-1у попередній формулі)

y = e^x y^/ = e^x

у = sin x у^/. = cos x

у = cos x у^/. = - sin x

Приклади. 1. Миттєва швидкість – це похідна радіус-вектора за часом, тобто границя , до якої наближається відношення приросту радіус-вектора до часу , за який цей приріст відбувся, .

= .

Значення проекції швидкості на одну з осей, наприклад на вісь x :

.

Зазначимо, що тут функцією є радіус-вектор , координатами –х, у, z, а аргументом –час t. Тому похідну беремо за часом t.

2. У загальному випадку довільного криволінійного руху вводиться поняття вектора миттєвого прискорення в довільній точці траєкторії. Миттєве прискорення – це похідна вектора швидкості за часом:

.

Значення проекції прискорення на одну з осей, наприклад на вісь x :

Таким чином, прискорення є похідною за часом та другою похідною за часом.

3. Миттєва потужність є похідною роботи за часом, характеризує швидкість виконання роботи:

4. Напруженість електричного поля зв’язана з потенціалом співвідношенням, що характеризує швидкість зміни потенціалу, тобто є похідною потенціалу вздовж якоїсь осі:

.