Задания для выполнения расчетно-графической работы № 2

Методические указания и задания

К выполнению расчетно-графической работы № 2

Для всех направлений бакалавриата

Уфа 2012

00УДК 51(07)

ББК 22.1я73,22.161.6

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства протокол № ________ от ________________ 2010 г.

Составитель: доцент Дик Е.Н.

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент

Лукманов Р.Л.

Введение

Методические указания представили классическую форму самостоятельной деятельности в виде вариантов расчетно-графической работы, позволяющих осуществить индивидуальную проверку знаний студентов, а также способствующих приобретению ими устойчивых навыков в решении задач по указанной теме. Рассмотрены разделы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. В частности, выбраны задания по темам: скалярное, векторное и смешанное произведение векторов; определение уравнений линий первого и второго порядка; взаимное расположение прямой и плоскости; нахождение элементов пространственной фигуры. В настоящем сборнике представлены тридцать индивидуальных вариантов, каждый из которых содержит шесть заданий и примеры решения типовых задач. Варианты заданий выдаются преподавателем. Приводится библиографический список, рекомендуемый для дополнительного изучения, имеющийся в наличии в библиотеке БГАУ.

Представляем решение некоторых типовых заданий.

Задача 1. Найти косинус угла между векторами и .

Решение.

Задача 2.Показать, что x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0 есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус.

Решение.

Заданное уравнение преобразуем к виду (x - a)² + (y - b)² = r². (1)

Выпишем члены, содержащие только x, и члены, содержащие только y. Выделим полные квадраты каждой переменной:

x² + 4x = (x + 2)² - 4,

y² - 6y = (y - 3)² - 9.

Левая часть уравнения запишется теперь так:

или отсюда

(x + 2)² + (y - 3)² = 16. (2)

Сравнивая уравнение (2) с (1), заключаем, что уравнение определяет окружность, центр которой имеет координаты О(-2, 3), r² = 16, а r = 4.

Задача 3.Дана равносторонняя гипербола x² - y² = 8. Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку A(4, 6).

Решение.

Уравнение гиперболы преобразуем к каноническому виду и получим , . Из соотношения получаем, что c = 4. Значит, координаты фокусов гиперболы F₂(-4, 0) и F₁(4, 0). В этих точках находятся фокусы эллипса. Обозначим большую и малую полуоси эллипса через a₁ и b₁. Расстояние между фокусами эллипса такое же, как и расстояние между фокусами гиперболы. Поэтому половину этого расстояния по-прежнему обозначим через c. Но у эллипса

т. е. и (1)

Для определения a₁ и b₁ нужно найти еще одно соотношение, связывающее их. Искомое уравнение эллипса запишется так:

(2)

Поскольку точка A(4, 6) лежит на эллипсе, ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса. Подставляя в последнее уравнение x = 4, y = 6, получаем, что . Присоединяя уравнение (1) к этому уравнению, получаем для определения и систему уравнений:

Откуда ; . Подставляя эти значения в (2), находим искомое уравнение .

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Задача 5. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

Задача 6.Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:

Задача 7.Найти точку , симметричную точке относительно прямой L, заданной уравнением

Поместим прямую в некоторую плоскость α и составим ее уравнение откуда . Найдем точку пересечения прямой L и плоскости α.

- координаты точки пересечения.

Отсюда,

Следовательно, - искомая точка.

Задания для выполнения расчетно-графической работы № 2

Задание № 1

1. Даны точки А(-2;3;-4), В(3;2;5), С(1;-1;2), D(3;2;-4). Вычислить .

2. Даны точки М(-5;7;-6) и N(7;-9;9). Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

3. Сила, определяемая вектором , разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .

4. Даны векторы и . Вычислить .

5. Даны векторы и . Вычислить .

6. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

7. Даны точки A(3;-4;-2), B(2;5;-2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями OX, OY углы , , а с осью OZ – тупой угол .

8. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями OX, OZ углы , . А осью OY – острый угол .

9. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

10. Даны векторы и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .

11. Даны векторы и . Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси ОZ и удовлетворяет условиям , .

12. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторам и и удовлетворяет условию .

13. Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью OY тупой угол. Найти его координаты, зная, что .

14. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

15. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью OZ. Зная, что , найти его координаты.

16. Вектор перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию . Найти координаты .

17. Даны векторы и . Найти косинус угла между векторами и , удовлетворяющими системе уравнений .

18. Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные , зная, что , , , вычислить .

19. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и если известно, что , и .

20. Проверить, являются ли точки A(-1;2;3), B(2;-1;1), C(1;-3;1) и D(-5;3;3) вершинами трапеции.

21. Определить при каком значении α векторы и будут взаимно перпендикулярны, если , , .

22. . Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами острые углы, если .

23. Найти угол, образованный единичными векторами и , если известно, что векторы и перпендикулярны.

24. , . Определить при каком значении векторы и будут перпендикулярны.

25. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(-3;5;6), В(1;-5;7), С(8;-3;-1) и D(4;7;-2) – квадрат.

26. Найти длины сторон и величину угла треугольника с вершинами А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), и С(3;-2; 1) при вершине С.

27. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения А(-1;2;0) в положение В(2;1;3).

28. Зная, что , , и , вычислить .

29. , , . Найти .

30. Найти cos между диагоналями АС и BD параллелограмма, если заданы три его вершины А(2;1;3), В(5;2;-1), и С(-3;3; -3).

Задание № 2

По трем заданным точкам построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) длину и уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) площадь треугольника АВС; 5) угол между сторонами ВА и ВС; 6) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины В; 7) составить уравнение медианы, проведенной из вершины С; 8) точку пересечения его медианы, проведенной из вершины С и высоты, проведенной из вершины А; 9) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2:3, считая от точки А; 10) уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно стороне ВС. Координаты вершин треугольника даны в таблице.

Задание № 3

1.Даны две смежные вершины А(-3;1) и В(2;2) параллелограмма АВСD и точка Q(3;0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

2. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма х-у-1=0, х-2у=0 и точка пересечения его диагоналей О(3;-1). Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

3. Какой угол образует с осью Ох прямая, проходящая через точку D(1;3) и точку пересечения медиан треугольника с вершинами А(-1;4),В(2;3), С(5;8)?

4. Известны вершины треугольника А(-4;-2),В(0;1), С(2;-1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной из вершины В.

5. Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны ромба:

х+2у-4=0, х+2у-10=0 и уравнение одной из его диагоналей х-у+2=0. Найти координаты вершин ромба.

6. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-2),В(0;5), С(-6;5). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.

7. Составить уравнение прямой, симметричной прямой х+2у-6=0 относительно точки А(4;2).

8. Две смежные вершины квадрата имеют координаты (1;4) и (4;5). Найти координаты двух других вершин.

9. При каком значении прямая х+у- =0 касается окружности ?

10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2;5) на расстоянии 2 единиц от точки В(0;-1).

11. На прямой х-3у+8=0 найти координаты точки, равноудаленной от двух точек (5;4) и (-3;2).

12. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки

А(-1;2) на прямую 3х-5у-21=0.

13. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;5), В(5;-1), С(8;3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой х+у+4=0.

14. Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.

15. Дан четырехугольник ABCD с вершинами А(3;5),В(6;6), С(5;3), D(1;1). Найти: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) угол между диагоналями.

16. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек А и В постоянно и равно 2.

17. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и вместе с прямыми х-у+12=0, 2х+у+9=0 образует треугольник с площадью, равной 1,5.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5;4), зная , что длина ее отрезка, заключенного между прямыми х+2у+1=0 и х+2у-1=0, равна 5.

19. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1;1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2.

20. Через точку М(4;3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

21. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х+7у-8=0, 3х+2у+5=0 под углом к прямой 2х+3у-7=0.

22. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых 11х+3у-7=0, 12х+у-19=0 на одинаковых расстояниях от точек А(3;-2) и В(-1;6).

23. Найти проекцию точки Р(-8;12) на прямую, проходящую через точки А(2;-3) и В(-5;1).

24. Найти точку М, симметричную точке Р(8;-9) относительно прямой, проходящей через точки А(3;-4) и В(-1;-2).

25. Точка А(-4;5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х-у+8=0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

26. Даны две противоположные вершины квадрата А(-1;3) и С(6;2). Составить уравнения его сторон.

27. Луч света направлен по прямой х-2у+5=0. Дойдя до прямой 3х-2у+7=0, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

28. Даны две вершины треугольника А(-10;2) и В(6;4); его высоты пересекаются в точке Р(5;2). Определить координаты третьей вершины.

29. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная , что длина ее отрезка, заключенного между прямыми 2х-у+5=0 и 2х-у+10=0, равна .

30. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух прямых 3х-у+7=0 и 3х-у-3=0.

Задание № 4

1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы x²-3у²=12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы, и, проходящей через начало координат.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через центры окружностей

х²+у²-6х-8у+16=0 и х²+у²+10х+4у+13=0.

3. Найти уравнение общей хорды окружностей (х-1)²+(у-3)²=4 и х²+у²-6х-10у+30=0.

4. Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами А(0;2), В(1;1), С(2;-2).

5. Найти угол между радиусами окружности (х-4)²+(у+3)²=25, проведенными в точках ее пересечения с осью Ох.

6. Найти координаты точек эллипса 16х²+25у²-400=0, для которых расстояние от левого фокуса в три раза больше расстояния от правого фокуса.

7. Найти длину хорды эллипса 44х²+100у²=4400, направленной по диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса.

8. В эллипс 4х²+у²=4 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти координаты двух других вершин треугольника.

9. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки А(3;0) равно расстоянию до данной прямой х+3=0.

10 Найти уравнения касательных к эллипсу х²+2у²=3, параллельных прямой х-2у+1=0

11. Найти уравнения касательных к гиперболе 4х²-5у²=20, параллельных прямой х+у-4=0.

12. Вершины квадрата лежат на гиперболе 9х²-4у²=125. Найти его площадь.

13. Найти расстояние между точками пересечения асимптот гиперболы

9х²-16у²=144 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

14. На гиперболе х²-у²=1 найти точку, фокальные радиусы которой перпендикулярны.

15. Через левый фокус гиперболы х²-у²=8 проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Найти расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.

16. При каких значениях прямая у=2х+ пересекает гиперболу

18х²-7у²=126? Касается ее?

17. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х²+25у²=225. Найти уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

18. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат и касающейся прямой х-у-2=0 в точке М(4;2).

19. В параболу у²=12х вписан равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы. Найти длину стороны треугольника.

20. Парабола у²=х отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду, длина которой равна . Составить уравнение этой прямой.

21. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 5х-3у+12=0 с осью ординат; осью абсцисс.

22. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку пересечения прямой у-х=0 и окружности х²+у²-4у=0.

23. Дан эллипс 6х²+15у²=90. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.

24. Найти длину диаметра эллипса (хорды, проходящей через центр эллипса)

9х²+27у²=225, перпендикулярно к асимптоте гиперболы х²-у²=4, проходящей через первую и третью четверти.

25. Чему равна площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы х²-у²=1 и прямой х=2.

26. Чему равна длина хорды, проходящей через фокус параболы х²=8у и перпендикулярной к ее оси симметрии.

27. Вычислить полуоси гиперболы, зная, что директрисы даны уравнениями

х = и угол между асимптотами прямой.

28. Составить уравнение прямой, которая касается параболы х²=16у и перпендикулярна к прямой 2х+4у+7=0

29. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса 64х²+100у²=6400, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

30. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х²+25у²=225. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет

Задание № 5

Даны координаты четырех точек A,B,C,D.

1) написать уравнение плоскости , проходящей через точку А перпендикулярно прямой ВС;

2) написать уравнение плоскости , проходящей через точки А, В, С;

3) найти угол между плоскостями и ;

4) найти уравнение и длину высоты, опущенной на грань АВС;

5) найти координаты точки, симметричной точке D относительно плоскости ;

6) найти площадь грани АВС;

7) найти объем пирамиды АВСD;

8) найти угол между ребрами АВ и АС.

1. А(7;2;4), В(7;-1;-2), С(3;3;1), D(-4;2;1).

2. А(1;3;6), В(2;2;1), С(-1;0;1), D(-4;6;-3).

3. А(-2;0;-4), В(-1;7;1), С(4;-8;-4), D(1;-4;6).

4. А(1;2;0), В(3;0;-3), С(5;2;6), D(8;4;-9).

5. А(1;3;6), В(2;2;1), С(-1;0;1), D(-4;6;-3).

6. А(-4;2; 6), В( 2;-3;0), С(-10;5;8), D( -5;2;-4).

7. А(7;2;4), В(7;-1;-2), С(3;3;1), D(-4;2;1).

8. А(2;1; 4), В(-1;5;-2), С(-7;-3;2), D(-6;-3;6).

9. А(-1;-5;2), В(-6;0;-3), С(3;6;-3), D(-10;6;7).

10. А(4;2;5), В(0;7;2), С(0;2;7), D(1;5;0).

11. А(4;4;10), В(4;10;2), С(2;8;4), D(9;6;9).

12. А(4;6;5), В(6;9;4), С(2;10;10), D(7;5;9).

13. А(3;5;4), В(8;7;4), С(5;10;4), D(4;7;8).

14. А(10;6;6), В(-2;8;2), С(6;8;9), D(7;10;3).

15. А (1;8;2), В(5;2;6), С(5;7;4), D(4;10;9).

16. А(6;6;5), В(4;9;5), С(4;6;11), D(6;9;3).

17. А(7;2;2), В(5;7;7), С(5;3;1), D(2;3;7).

18. А(8;6;4), В(10;5;5), С(5;6;8), D(8;10;7).

19. А(7;7;3), В(6;5;8), С(3;5;8), D(8;4;1).

20. А(-1;2;7), В(-1;5;1), С(1;2;1), D(1;5;9).

21. А(4;2;5), В(0;7;2), С(0;2;7), D(1;5;0).

22. А(7;2;4), В(7;-1;-2), С(3;3;1), D(-4;2;1).

23. А(-1;2;7), В(-1;5;1), С(1;2;1), D(1;5;9).

24. А(7;2;2), В(5;7;7), С(5;3;1), D(2;3;7).

25. А(1;1;1), В(4;4;4), С(3;5;5), D(2;4;7).

26. А(8;7;4), В(3;5;4), С(5;10;4), D(4;7;8).

27. А(1;2;7), В(-2;3;5), С(2;3;6), D(8;4;1).

28. А(5;3;4), В(-1;4;2), С(0;3;6), D(4;5;9).

29. А(2;2;5), В(2;-3;5), С(0;1;2), D(2;3;4).

30. А(2;1;4), В(7;-1;-2), С(-7;-3;2), D(-4;2;1).

Задание № 6

1. При каком значении m прямая параллельна плоскости ?

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. перпендикулярно к прямой .

3. При каком значении С прямая параллельна плоскости ?

4. При каких значениях A и D прямая лежит в плоскости ?

5. При каких значениях A и B плоскость перпендикулярна к прямой ?

6. Убедившись, что прямые ; параллельны, вычислить расстояние d между ними.

7. Вычислить расстояние d от точки P(2;3;-1) до прямой .

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ; .

9. Доказать, что прямые ; лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости.

10. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми: ; .

11. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми: ; .

12. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми: ; .

13. Найти точку Q симметричную т. P (1,3,-4) относительно плоскости .

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. N (1,1,1) перпендикулярно к прямой . Найти их точку пересечения.

15. Найти проекцию точки A (4,-3,1) на плоскость .

16. Найти проекцию точки P (2,-1,3) на прямую .

17. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ; .

18. Даны прямые и . При каком они пересекаются?

19. Написать уравнение прямой, проходящей через т. (1,-1,0) и перпендикулярной к плоскости .

20. Найти расстояние между параллельными плоскостями и .

21. Найти проекцию прямой на плоскость OXY.

22. Через точки и проведена прямая. Определить точку переcечения этой прямой с координатной плоскостью YOZ.

23. Составить уравнение прямой, проходящей через т. A(3,-3,0) и через точку пересечения прямой : с плоскостью α, заданной уравнением .

24. Составить уравнение прямой, проходящей через т. A(2,-1,3) и через точку пересечения прямой : с плоскостью α, заданной уравнением .

25. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые : и : .

26. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку М (1;2;1) параллельно прямым : и : .

27. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через прямую : параллельно прямой : .

28. Составить каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей: и .

29. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости: с прямыми: и .

30. Найти точку, симметричную точке А (4;-3:2) относительно прямой : .

Библиографический список

1. Шипачев В. С. Высшая математика: учебник для студ. вузов/ В. С. Шипачев. - Изд. 8-е, стер. - М.: Высшая школа, 2007. - 479с.

2. Сборник задач по высшей математике: с контрольными работами. 1 курс: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по направлениям и спец. в области техники и технологии/ К. Н. Лунгу и др. - 6-е изд.. - М.: Айрис Пресс, 2007. - 575с.

3. Данко П. Е.Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие: в 2 ч./ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Ч. 1- 6-е изд. - М.: ОНИКС: Мир и Образование. - 2006. – 304с.

4. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие/ Л. А. Кузнецов. - Изд. 10-е, стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. - 239с.