Степень статической неопределимости

УДК 624.041.2

ББК 38.112

Р 24

Р 24Расчет статически неопределимой фермы: Учебно - методическое пособие /Сост.Э.Р. Ефименко. Тольятти: ТГУ, 2013. 21 с.

Даны краткий теоретический материал для расчета статически неопределимой фермы и пример расчета статически неопределимой фермы.

Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения направления подготовки 270800 “Строительство”.

Научный редактор старший преподаватель Л.В. Ахмедьянова

Утверждено научно-методическим советом кафедры ГСХ.

УДК 624.041.2

ББК 38.112

© Тольяттинский государственный университет, 2008.

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ

Основные понятия, определения.

Статически неопределимой фермой называется ферма, для определения усилий в элементах которой кроме уравнений статического равновесия необходимы дополнительные уравнения – уравнения деформаций.

Распределение усилий в статически неопределимых фермах зависит не только от внешних сил, но и от соотношений между поперечными размерами отдельных элементов. Если элементы фермы изготовлены из различных материалов, то распределение усилий зависит также от модулей упругости этих материалов. Поэтому для определения усилий в элементах таких ферм необходимо задавать их жесткости. Смещение опор, температурные воздействия и неточность сборки конструкции обычно вызывают в таких фермах дополнительные усилия.

Расчет статически неопределимых ферм начинается с анализа ее схемы. Анализ, прежде всего, необходим для того, чтобы установить степень статической неопределимости.

Степень статической неопределимости равна числу так называемых лишних связей, удаление которых превращает статически неопределимую ферму в определимую и геометрически неизменяемую систему. Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.

Различают внешне статически неопределимые фермы и внутренне статически неопределимые фермы. Внутренне статически неопределимые фермы - фермы с тремя опорными стержнями, имеющие лишние внутренние связи. Внешне статически неопределимые фермы имеют лишние внешние связи. Статически неопределимую ферму, имеющую более трех опорных стержней, можно рассматривать как внешне, как внутренне, и как одновременно внешне и внутренне статически неопределимую систему – в зависимости от того, какие связи считать лишними.

Для внешне статически неопределимых ферм степень статической неопределимости определяется по формуле:

n_ст = С_оп - 3

где С_оп – количество опорных связей (стержней) системы.

Для внутренне статически неопределимых ферм степень статической неопределимости определяется по формуле:

n_ст = -(3D – 2Ш - С_оп )

где D – количество дисков (стержней),

Ш – количество одиночных (простых) шарниров,

С_оп – количество опорных связей (стержней) системы.

Основная и эквивалентная системы.

Канонические уравнения метода сил.

Основной системой называется статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной системы путем отбрасывания всех лишних связей ( за исключением абсолютно необходимых). Построение основной системы может быть произведено различными способами. Выбор основной системы является важным этапом расчета, т.к. от него зависит простота и точность расчета фермы.

Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому, если к основной системе, кроме заданной нагрузки, приложить реакции устраненных связей, то полученная система и заданная система будут эквивалентны. Полученная таким образом система называется эквивалентной системой.

Заданная система

внутренне статически внешне статически

неопределимая ферма неопределимая ферма

Степень статической неопределимости

Основная система

Эквивалентная система

В заданной системе в направлении имеющихся жестких связей ( в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в эквивалентной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равнялись бы нулю. Таким образом, условие равенства эквивалентной и заданной систем математически сводится к удовлетворению системы n линейных уравнений:

δ₁₁Χ₁ + δ₁₂Χ₂ + …+ δ_1nΧ_n + Δ_1Р = 0,

δ₂₁Χ₁ + δ₂₂Χ₂ + …+ δ_2nΧ_n + Δ_2Р = 0,

……………………………………..

δ_n1Χ₁ + δ_n2Χ₂ + …+ δ_nnΧ_n + Δ_nР = 0.

Эти уравнения являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы. Данные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил. Первое из этих уравнений выражает мысль о равенстве нулю перемещения в эквивалентной системе по направлению первой отброшенной связи Χ₁ , второе – по направлению второй отброшенной связи и т.д.

Число уравнений равно числу отброшенных связей, т.е. степени статической неопределимости заданной системы.

В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов при неизвестных стоят перемещения основной системы, вызываемые единичными силами, действующими по направлениям отброшенных связей. Коэффициент δ_ij представляет перемещение по направлению связи i, вызванное силой, равной единице, действующей по направлению связи j. Коэффициенты δ_ij носят название единичных коэффициентов канонических уравнений. Коэффициент Δ_iр представляет перемещение по направлению связи i, вызванное действием заданной внешней нагрузки. Коэффициенты Δ_iр называются грузовыми коэффициентами или свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты δ_ii называются главными коэффициентами, а коэффициенты δ_ij – побочными. На основании теоремы о взаимности перемещений δ_ij = δ_ji .

Определяются коэффициенты канонических уравнений с помощью интегралов Мора по формулам :

δ_ij =

Δ_iр =

т.к. фермы это конструкции, работающие преимущественно на сжатие (растяжение), то в выражении интегралов Мора с соблюдением достаточной точности остаются только слагаемые, зависящие от продольных усилий.

Для подсчета коэффициентов используются способы определения продольных усилий в стержнях ферм: способ вырезания узлов, способ моментной точки, способ проекций и по признакам.