Критерий Байеса-Лапласа минимаксный

ШИФР: z21203

Вариант 3. Валуйский Р. В.

Луганск 2016 г.

Цель

Ознакомится с критериям, которые помогают принимать решение в условиях неопределенности.

Задание

Ход работы

Классические критерии

Минимаксный критерий

Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Необходимо выбрать те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.

Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:

1. О возможности появления внешних состояний ничего не известно;

2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний ;

3. Решение реализуется только один раз;

4. Необходимо исключить какой бы то ни было риск.

Выполнение задания

		-7			-7	-7 ( )
		-20	-15	-3	-20
	-10	-4	-26		-26
				-20	-20

Рекомендуемые вариант .

Критерий Байеса-Лапласа

Обозначим через – вероятность появления внешнего состояния .

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений дополняется ещё одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.

При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

1. Вероятности появления состояния известны и не зависят от времени.

2. Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.

3. Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён.

Таким образом, критерий Байеса-Лапласа (B-L-критерий) более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

Выполнение задания

, при

		-7			4.75	4.75 ( )
		-20	-15	-3	-9
	-10	-4	-26		-3.25
				-20	-0.75

Рекомендуемые вариант .

Критерий Сэвиджа

Величину можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии вместо варианта выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину можно интерпретировать и как потери (штрафы), возникающие в состоянии при замене оптимального для него варианта на вариант . В последнем случае представляет собой максимально возможные (по всем внешним состояниям , ) потери в случае выбора варианта .

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:

1. Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца.

2. Разности образуют матрицу остатков . Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей . Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к ММ-критерию.

Выполнение задания

		-7								22 ( )
		-20	-15	-3
	-10	-4	-26
				-20

Рекомендуемые вариант .

Производные критерии

Критерий Гурвица

Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предложил оценочную функцию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма.

,

где – весовой множитель.

Правило выбора согласно критерию Гурвица, формируется следующим образом:

Матрица решений дополняется столбцом, содержащим среднее взвешенное наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбираются только те варианты, в строках которых стоят наибольшие элементы этого столбца.

При критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При он превращается в критерий «азартного игрока».

,

т. е. мы становимся на точку зрения азартного игрока, делающего ставку на то, что «выпадет» наивыгоднейший случай.

В технических приложениях сложно выбрать весовой множитель , так как трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего .

Критерий Гурвица применяется в случае, когда:

1) о вероятностях появления состояния ничего не известно;

2) с появлением состояния необходимо считаться;

3) реализуется только малое количество решений;

4) допускается некоторый риск.

Выполнение задания

, при

							+
		-7			-3.5		4.5	4.5 ( )
		-20	-15	-3	-10		-9
	-10	-4	-26		-13	13.5	0.5
				-20	-10	4.5	-5.5

Рекомендуемые вариант .

Критерий Ходжа-Лемана

Этот критерий опирается одновременно на ММ-критерий и критерий Байеса-Лапласа. С помощью параметра выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей. Если доверие велико, то доминирует критерий Байеса-Лапласа, в противном случае – ММ-критерий, т. е. мы ищем

,

(*)

Правило выбора, соответствующее критерию Ходжа-Лемана формируется следующим образом:

Матрица решений дополняется еще одним столбцом, составленным из средних взвешенных (с весом ) математических ожиданий и наименьших результатов с весом каждой строки (*). Отбираются те варианты решений, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.

При критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при становится минимаксным.

Выбор субъективен, т. к. степень достоверности какой-либо функции распределения – дело тёмное.

Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация, в которой принимается решение, удовлетворяла свойства:

1. вероятности появления состояния неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

2. принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

3. при малых числах реализации допускается некоторый риск.

Выполнение задания

, при ,

							+
		-7			2.375	-3.5	-1.125	-1.125 ( )
		-20	-15	-3	-4.5	-10	-14.5
	-10	-4	-26		-1.625	-13	-14.625
				-20	-0.375	-10	-10.375

Рекомендуемые вариант .

Критерий Гермейера

Этот критерий ориентирован на величину потерь, т. е. на отрицательные значения всех . При этом

Так как в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие обычно выполняется. В случае же, когда среди величин встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования , при подходящем образом подобранном . При этом оптимальный вариант решения зависит от .

Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом:

Матрица решений дополняется ещё одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния . Выбираются те варианты в строках которых находится наибольшее значение этого столбца.

В каком-то смысле критерий Гермейера обобщает ММ-критерий: в случае равномерного распределения , , они становятся идентичными. Условия его применимости таковы:

1. вероятности появления состояния неизвестны;

2. с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо считаться;

3. допускается некоторый риск;

4. решение может реализоваться один или несколько раз.

Если функция распределения известна не очень надёжно, а числа реализации малы, то, следуя критерию Гермейера, получают, вообще говоря, неоправданно большой риск.

Выполнение задания

, при

		-7			1.25	-1.75		1.25	-1.75	-1.75 ( )
		-20	-15	-3	0.5	-5	-3.75	-0.75	-5
	-10	-4	-26		-2.5	-1	-6.5	6.75	-6.5
				-20	1.75	2.25	0.25	-5	-5

Рекомендуемые вариант .

Критерий Байеса-Лапласа минимаксный

Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чем все до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев. В качестве примера рассмотрим критерий, полученный путем объединения критериев Байеса‑Лапласа и минимакса.

Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом:

Матрица решений дополняется еще тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во втором - разность между опорным значением

и наименьшим значением

соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением

каждой строки и наибольшим значением , той строки, в которой находится значение . Выбираются те варианты, строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое ожидание. А именно, соответствующее значение

из второго столбца должно быть больше или равно некоторому заранее заданному уровню риска . Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которой принимается решение:

1. вероятности появления состояний неизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;

2. необходимо считаться с появлением различных состояний как по отдельности, так и в комплексе;

3. допускается ограниченный риск;

4. принятое решение реализуется один раз или многократно.

BL(MM) – критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно надежным. Однако заданные границы риска и, соответственно, оценок риска , не учитывает ни число применения решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью.

Условие

существенно в тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. В этих условиях недостаточно ориентироваться на риск, связанный только с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого, правда, можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализаций это условие перестает быть таким уж важным. Оно даже допускает разумные альтернативы. При этом не известно, однако, четких количественных указаний, в каких случаях это условие следовало бы опускать.

Выполнение задания

		-7			4,75
		-20	-15	-3	-9		-14
	-10	-4	-26		-3,25
				-20	-0,75		-7

Рекомендуемого варианта нет, т. к. ни одно значение из третьего столбца не больше, чем, в соответствующей строчки, второго столбца.

Критерий произведений

Правило выбора в этом случае формулируется так:

Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

1. вероятности появления состояния неизвестны;

2. с появлением каждого из состояний по отдельности необходимо считаться;

3. критерий применим и при малом числе реализаций решения;

4. некоторый риск допускается.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг с некоторой константой Результат при этом будет, естественно зависеть от . На практике чаще всего

Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим.

Выполнение задания

,

		-7								880640 ( )
		-20	-15	-3
	-10	-4	-26
				-20

Рекомендуемые вариант .

Выводы

В ходе выполнения индивидуального задания, я отработал тактические навыки применения горячих клавиш Word'a (alt+= и уже находясь в формуле разделить+пробел для дроби или ^ + пробел для степени, а если нужен нижней индекс, то _ + пробел), а также ознакомился с различными критериями, которые помогают принять решения в условиях неопределенности.