КАК ДЕТИ ОБРАЗУЮТ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

К СТАТЬЕ Ж. ПИАЖЕ «КАК ДЕТИ ОБРАЗУЮТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ»

В современной детской психологии, Женевской психологиче­ской школе, возглавляемой Ж. Пиаже, принадлежит всесторонне разработанная теория развития интеллекта, опирающаяся на многочисленные экспериментальные исследования.

Значительной вехой висследовании этой проблемы явились две работы Ж. Пиаже: «Генезис числа у ребенка» и «Развитие количества у ребенка». Общий итог взглядов Ж. Пиаже на умст­венное развитие представлен в его монографии «Психология интеллекта».

В познавательной активности ребенка ключевую позицию, по мнению ученого, занимают логические операции — пси­хологические механизмы мышления. Так, Ж. Пиаже специаль­но выяснял, как ребенок открывает постоянство некоторых свойств объектов, как его мышление усваивает принцип сохра­нения вещества, веса, объема предметов.

Принцип сохранения означает, что предмет (или совокупность предметов) признается неизменным по свойству элементов или по любому другому физическому параметру, несмотря на изме­нения формы или внешнего расположения, но при условии, если ничто не отнимается и не прибавляется к нему. Например, объем жидкости сохраняется при всех изменениях высоты и диаметра столбика жидкости, когда она переливается из одного сосуда в другой.

Овладение принципом сохранения количества, по Пиаже, слу­жит необходимым условием формирования у ребенка научных понятий и в то же время является психологическим критерием основной логической характеристики мышления — обратимости (для каждой операции имеется противоположная, или обратная, ей операция, которой должен овладеть ребенок). Умственная деятельность ребенка поднимается при этом на новый уровень операций.

В эксперименте было выяснено, что постепенный процесс формирования принципа сохранения приводит ребенка сначала к пониманию постоянства массы (8—-10 лет), затем веса (10— 12 лет) и, наконец, объема около(12 лет). Для усвоения идеи со­хранения детский ум должен выработать логические схемы, представляющие стадию конкретных операций. По мнениюПиа­же, это доступно ребенку младшего школьного возраста. Затем постепенно нарастает способность к дедуктивным умозаключениям и построению гипотез. Мышление ребенка (после 11 лет) поднимается на новую стадию формально-логических операций, завершающуюся к 15 годам.

В приводимой ниже статье описаны некоторые феномены (получившие название «феноменов Пиаже»), которые показыва­ют отсутствие у ребенка принципа обратимости на дооперационном уровне, и факты, когда ребенок уже руководствуется этим принципом в своих суждениях.

Как показали последующие эксперименты, проводимые советскими психологами, развитие у ребенка научного подхода к явлениям действительности может отличаться от пути, указан­ного Ж. Пиаже. Формирование собственно научных понятий у ребенка может быть специально организовано с адекватным использованием орудий (меры, эталоны) и вспомогательных средств (метки), закрепленных в общечеловеческом опыте и задаваемых ребенку общественной жизнью.

Несомненная ценность и значимость вклада Пиаже в построе­ние и разработку проблемы развития стадий интеллекта не долж­на скрывать от читателя общие недостатки его концепции. Основ­ное внимание Пиаже сосредоточил на структурно-рассудочных сторонах мышления, на самом познающем уме, интеллекте как таковом, развитие которого описывается безотносительно к со­циализации ребенка. Стадии развития интеллекта выступают у него в видепредустановленной системы структур, не зависящей от социальных воздействий.

Статья «Как дети образуют математические понятия», напи­санная для журнала «Вопросы психологии», может быть понята лишь в свете общей концепции Пиаже, требующей специального серьезного изучения и вместе с тем критического освещения его научной системы с марксистских позиций.

ЖАН ПИАЖЕ

КАК ДЕТИ ОБРАЗУЮТ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Это большая ошибка — думать, что ребенок приобретает по­нятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно, независимо и спонтанно. Когда взрослые пыта­ются навязать ребенку математические понятия преждевремен­но, он выучивает их только словесно; настоящее понимание при­ходит только с его умственным ростом.

Это можно показать на простом опыте. Ребенка 5 или 6 лет родители легко могут научить называть числа от 1 до 10. Если выложить 10 камешков в ряд, ребенок может правильно их сосчи­тать. Но если выложить камешки в виде более сложной фигуры или нагромоздить их кучей, он уже не может считать их с посто­янной точностью. Хотя ребенок знает названия чисел, он еще не уловил существенной идеи числа, а именно, что число объектов в группе остается тем же, «сохраняется» независимо от того, как их растасовать или расположить.

С другой стороны, мы часто обнаруживаем, что ребенок 6½ или 7 лет спонтанно образовал понятие числа, хотя до этого его не учили считать. Если ему дать 8 красных и 8 синих кусочков картона, он установит, располагая их попарно «1» к «1», что число красных такое же, как и число синих, и что обе группы оста­ются равными по числу независимо от формы, которая им при­дается.

Опыт с соотнесением «1» к «1» полезен и для изучения того, как у детей развивается понятие числа. Выложим ряд из 8 крас­ных кусочков на расстоянии около сантиметра друг от друга и попросим наших маленьких испытуемых взять из ящика столько же синих кусочков. Реакции детей будут зависеть от возраста, и мы можем наметить три стадии развития. Ребенок в возрасте 5 лет и моложе будет выкладывать синие кусочки так, чтобы сде­лать ряд точно такой же длины, как и красный ряд, при этом красные кусочки он кладет вплотную друг к другу, а не на рас­стоянии. Он думает, что число остается тем же, если длина ряда такая же. В возрасте около 6 лет дети переходят на вторую ста­дию; они кладут один синий кусочек против каждого красного и получают правильное число. Но это вовсе не всегда означает, что дети приобрели понятие о самом числе. Если мы раздвинем крас­ные кусочки, сделав расстояние между ними более значитель­ным, то шестилетний ребенок будет думать, что теперь в более длинном ряду больше кусочков, хотя мы и не изменили их число. В возрасте от 6½ до 7 дети достигают третьей стадии: теперь они знают, что, будем ли мы сдвигать или раздвигать ряд, число ку­сочков в нем остается тем же, что и в другом ряду.

В другом сходном опыте ребенку дают 2 сосуда одинаковой формы и размера и просят вынимать одновременно обеими рука­ми и класть в другие 2 сосуда бусинки: синюю бусинку — в один сосуд правой рукой, а красную бусинку — в другой сосуд левой рукой. Когда ребенок более или менее наполнит сосуды, его спра­шивают, как их сравнить. Ребенок уверен, что в обоих сосудах одинаковое число бусинок. Тогда его просят высыпать синие бу­сы в сосуд другой формы и размера. И теперь снова соответст­венно возрасту выступают различия в понимании. Младшие дети думают, что число изменилось: если, например, бусы наполняют сосуд до более высокого уровня, ребенок утверждает, что теперь в нем больше бус, чем было в прежнем; если бусы наполняют сосуд до более низкого уровня, ребенок думает, что теперь их меньше. Но дети около 7 лет уже понимают, что перемещение не меняет число бус.

Короче говоря, дети должны уловить принцип сохранения ко­личества, прежде чем они могут образовать понятие числа. Но_г конечно, сохранение количества само по себе не является число­вым понятием; это скорее логическое понятие. Так эти опыты из области детской психологии бросают некоторый свет на эписте­мологию понятия числа, которое являлось предметом исследо­вания многих математиков и логиков. <...>

Исследование того, как ребенок открывает пространственные отношения, что можно назвать спонтанной геометрией ребенка, не менее плодотворно, чем изучение его числовых понятий. Порядок развития идей ребенка в области геометрии кажется об­ратным порядку их исторического открытия. Научная геометрия начинается с системы Эвклида (трактующей фигуры, углы и т. д.), развивается в XVII столетии в так называемую проек­тивную геометрию (имеющую дело с проблемами перспективы), и, наконец, в XIX столетии приходит к топологии (описывающей пространственные отношения в общем качественном виде, напри­мер различие между открытыми и замкнутыми структурами, внешним и внутренним, близостью и разделением). Ребенок на­чинает с последнего: его первые геометрические открытия явля­ются топологическими. В возрасте 3 лет он легко различает от­крытые и замкнутые фигуры: если вы попросите его срисовать квадрат или треугольник, он нарисует замкнутый круг; он рисует крест двумя отдельными линиями. Если вы показываете ему ри­сунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может вос­произвести это отношение, но может также нарисовать малень­кий круг вне большого или соприкасающимся с ним краем. И все это он может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоуголь­ник или выразить эвклидовы характеристики фигуры (число сто­рон, углы и т. д.). Лишь значительно позже того, как ребенок ов­ладеет топологическими отношениями, он начинает развивать свои понятия эвклидовой и проективной геометрии. И тогда он строит их одновременно. <...>

Проверим наших юных испытуемых в отношении проективных структур. Сначала мы ставим 2 крайних столбика «решетчатой ограды» (маленькие палочки, вставленные в основания из пла­стилина) на расстоянии приблизительно 15 дюймов друг от друга и просим ребенка поставить другие столбики по прямой линии между ними. Самые младшие дети (младше 4 лет) ставят один столбик рядом с другим, образуя более или менее волнистую ли­нию. Их подход является топологическим: элементы связаны ско­рей простым отношением близости, чем проекцией линии как та­ковой. На следующей стадии, старше 4 лет, ребенок уже может составить прямую линию, если крайние столбики расположены параллельно краю стола или если есть какая-нибудь другая пря­мая линия, которой ребенок может руководствоваться. Если крайние столбики расположены по диагонали стола, ребенок мо­жет начать строить линию параллельно краю стола, а затем ме­няет направление и образует кривую, чтобы подвести линию к последнему столбику. Случайно малыш может сделать и прямую линию, но она будет лишь одной среди прочих других, получае­мых посредством проб и ошибок, а не по системе.

В возрасте 7 лет ребенок может построить прямую ограду всегда и в любом направлении стола, и эту прямую линию он проверяет так: он закрывает один глаз и просматривает направ­ление другим глазом, как это делает садовник, равняя жерди для бобов. Перед нами сущность проективного понятия; линия все еще является топологической линией, но ребенок улавливает, что проективное отношение зависит от угла зрения или «точки зрения».

Это исследование можно продолжить с помощью другого опыта. Например, вы ставите на стол куклу и помещаете перед ней предмет, ориентированный в определенном направлении: карандаш, лежащий наискось, по диагонали или вдоль линии взора куклы, или часы, поставленные или положенные на столе. Затем вы просите ребенка нарисовать, как кукла видит предмет, или, еще лучше, выбрать из 2 или 3 рисунков один, который это изображает. Не ранее чем около 7 или 8 лет ребенок может пра­вильно вывести угол зрения куклы.

Сходный опыт, поставленный для проверки того же вопроса, ведет к такому же заключению. Предметы разной формы поме­щаются в разных положениях между источником света и экраном, и ребенка просят предсказать, какой будет форма тени от пред­мета на экране.

Способность координировать разные перспективы проявляет­ся не ранее 9 или 10 лет. Это иллюстрирует опыт, который несколько лет тому назад я подсказал своей сотруднице д-ру Эдит Мейер. Экспериментатор сидит за столом против ребенка и ставит между ним и собой гряду гор, сделанную из картона. Оба видят эту гряду во взаимно обратной перспективе. Ребенка просят выбрать из нескольких рисунков один, соответствующий его собственному виду гряды, и один — ее виду с позиции лица, сидящего против него. Естественно, самые младшие дети могут выбрать только один рисунок, соответствующий их точке зрения; они думают, что все точки зрения подобны их собственной. Еще более интересно, что, если ребенок меняется местами с экспери­ментатором и теперь видит горы с другой стороны, он полагает, что его новая точка зрения является единственно правильной; он не может воспроизвести вид с точки зрения, которая была его собственной непосредственно перед этим. Это хороший при­мер эгоцентричности, столь характерной для детей, пример при­митивного рассуждения, мешающего им понять, что может быть и более чем одна точка зрения.

Дети должны проделать значительную эволюцию, чтобы где-то около 9 или 10 лет начать различать и координировать разные возможные перспективы. На этой стадии дети могут понять про­ективное пространство в его конкретной или практической фор­ме, но, естественно, не в его теоретических аспектах.

К тому времени, когда ребенок образует представление о проективном пространстве, он также строит и эвклидово про­странство; оба построения опираются друг на друга. Так, напри­мер, выстраивая ряд столбиков ограды, он может воспользовать­ся не только методом просмотра, но вытянуть параллельно обе руки, давая этим направление ограде. Он применяет понятие о сохранении направления, которое является эвклидовым принци­пом. Здесь мы имеем еще одну иллюстрацию того факта, что дети образуют математические понятия на качественном или логическом основании.

Принцип сохранения образуется в разных формах. Первой является сохранение длины. Если вы положите один блок на другой такой же длины, а затем выдвинете один блок так, чтобы его конец выходил за границы другого, то ребенок 6 лет будет утверждать, что оба блока уже не равны по длине. Не ранее чем около 7 лет ребенок начинает понимать, что то, что блок выиг­рывает на одном конце, он теряет на другом. Нужно отметить — ребенок приходит к этому понятию о сохранении длины путем логического заключения.

Экспериментальное изучение того, как ребенок открывает со­хранение расстояния, особенно показательно. Между двумя маленькими игрушечными деревьями, стоящими на расстоянии друг от друга, вы помещаете стену из блоков или куска толстого картона и спрашиваете ребенка (конечно, на его языке), находятся ли теперь деревья на том же расстоянии друг от друга. Самые маленькие дети думают, что расстояние изменилось; они просто не могут сложить 2 части расстояния в одно общее расстояние. Дети 5 или 6 лет думают, что расстояние уменьшилось, указывая на то, что ширина стены не считается расстоянием; иными словами, заполненное пространство не имеет для них такого же значения, как пустое пространство. Только в возрасте около 7 лет дети приходят к пониманию того, что промежуточные предметы не меняют расстояния.

Как бы вы ни проверяли, вы всегда обнаруживаете следую­щее: дети не доходят до принципа сохранения длины или поверх­ности, пока — где-то около 7 лет — не открывают обратимости, которая показывает, что первоначальное количество остается тем же (например, выравнивание блоков одинаковой длины, устранение стены и т. д.). Таким образом, открытие логических отношений является предварительным условием образования геометрических понятий, как это имеет место при образовании понятия о числе.

Это относится и к самому измерению, которое также являет­ся производным понятием. Интересно проследить, как дети спонтанно научаются измерять. Д-p Инельдер, одна из моих сотрудниц, и я провели следующий эксперимент: мы показывали ребенку башню из блоков, стоящую на столе, и просили его по­строить другую башню такой же высоты на другом столе (кото­рый был ниже или выше первого) из блоков разного размера. Конечно, мы снабжали ребенка всеми необходимыми измери­тельными инструментами. Попытки ребенка решить эту задачу проходят поразительную эволюцию. Самые младшие дети строят вторую башню до того же визуального уровня, что и первая, не заботясь о различии в высоте столов. Они сравнивают башни, отступая назад и просматривая их верхушки единым взором. На несколько более высоком этапе развития ребенок кладет на верхушки башен длинный стержень, чтобы удостовериться в том, что они на одном уровне. Несколько позже он замечает, что ос­нование его башни находится не на том уровне, что основание модели. Тогда, чтобы уравнять их, он хочет поместить свою баш­ню рядом с образцом, на том же столе. Вспомнив, что правила игры запрещают передвигать его башню, он начинает огляды­ваться в поисках средств измерения. Интересно, что первое, приходящее ему на ум, — это его собственное тело. Он кладет одну руку на вершину своей башни, другую — на ее основание и затем, пытаясь сохранить неизменное расстояние между руками, направляется к другой башне, чтобы сравнить это расстояние с нею. Дети около 6 лет делают это весьма уверенно — так, как если бы их руки не могли изменить положения по пути! Вскоре они обнаруживают, что метод не надежен, и тогда прибегают к проекции точек башни на свое тело. Ребенок соотносит свои пле­чи с вершиной своей башни, против ее основания отмечает рукой точку на своем бедре и направляется к модели посмотреть, яв­ляется ли расстояние тем же.

В конце концов ребенку приходит мысль о независимом изме­рительном инструменте. Его первая попытка в этом направлении заключается в том, чтобы построить рядом третью башню такой же высоты, как и та, что он уже воздвиг. Построив эту третью башню, он пододвигает ее к первому столу и ставит рядом с моделью; это допускается правилами. Достижение ребенком этой стадии предполагает процесс логического рассуждения. Если мы назовем башню образец А, вторую башню С, а переме­щаемую башню В, то ребенок рассуждает так: В = С и В=А, поэтому А = С.

Позднее ребенок замещает третью башню стержнем, но сначала стержень должен быть точно такой же длины, как высота башни, подлежащей измерению. Затем он постигает идею исполь­зовать более длинный стержень, на котором отмечает пальцем высоту башни. Наконец,— и это начало настоящего измерения — он понимает, что может использовать более короткий стержень и измерить высоту башни, откладывая стержень по ее стороне известное число раз.

Последнее открытие содержит две новые логические опера­ции. Первая — это процесс разделения, который позволяет ребен­ку понять, что целое состоит из некоторого числа сложенных вмес­те частей. Вторая — это операция смещения или замещения, ко­торая позволяет ему присоединить одну часть к другой и таким путем создавать систему единиц. Поэтому можно сказать, что измерение есть синтез разделения на части и замещения, подоб­но тому как число есть синтез включения категорий и сериаль­ного порядка. Но измерение развивается позднее, чем понятие числа, потому что труднее разделить непрерывное целое на взаимозаменяемые единицы, чем перечислить уже разделенные элементы.

Чтобы изучить измерение в двух направлениях, мы даем ре­бенку большой лист бумаги с карандашной точкой на нем и просим поставить точку в том же месте на другом листе такого же размера. Ребенок может воспользоваться палочками, полос­ками бумаги, веревочками, линейками или любым другим из­мерительным инструментом, в котором он нуждается. Самые младшие испытуемые довольствуются визуальным приближе­нием, не пользуясь никакими орудиями. Позднее ребенок поль­зуется измерительным инструментом, но измеряет только рас­стояние точки от основания или бокового края листа и очень удивляется, что это единичное измерение не дает ему правильно­го положения точки. Тогда он измеряет расстояние точки от угла листа, пытаясь сохранить тот же наклон (угол) линейки на своем листе. Наконец, в возрасте около 8 или 9 лет он открыва­ет, что должен разделить измерение на 2 операции: горизонталь­ное расстояние от боковой стороны и вертикальное расстояние от основания или верхнего края. Сходный опыт с бусами в ящике показывает, что ребенок открывает трехмерные измерения при­близительно в том же возрасте.

Измерение в двух или трех направлениях приводит нас к центральной идее эвклидова пространства, а именно к идее осей координат — системы, основанной на горизонтальности или вер­тикальности физических объектов. Может показаться, что даже маленький ребенок должен был бы понять эти представления, ибо в конце концов он может различить между положениями «прямо вверх» и «лежащее внизу». Но в действительности пред­ставление о вертикальных и горизонтальных линиях поднимает совсем другой вопрос об этом субъективном сознании постурального пространства. Д-р Инельдер и я изучали его с помощью следующих опытов: показывая сосуд, наполовину наполненный окрашенной водой, мы просили маленьких испытуемых сказать, каков будет уровень воды, если наклонить сосуд так или иначе. Не ранее 9 лет ребенок постигает идею горизонтальности и на­чинает отвечать правильно. Сходные опыты с отвесом или с иг­рушечной парусной лодкой с высокой мачтой демонстрируют, что понимание вертикальности появляется примерно в то же время. Такое запаздывание в приобретении ребенком этих понятий в действительности не удивительно, так как эти понятия требуют, чтобы ребенок уловил не только внутренние отношения объекта, но также его отношения к внешним элементам (например, к столу, полу или стенам комнаты).

Когда ребенок уясняет себе, как строить эти оси координат по отношению к естественным объектам (что наступает прибли­зительно в то же время, когда он овладевает координацией раз­ных перспектив), он также достигает понимания того, как надо изображать пространство. Но к этому времени он развивает и свои основные математические понятия, которые возникают спонтанно из его собственных логических операций.

Описанные мною опыты, как они ни просты, были удивитель­но плодотворны и выявили много неожиданных фактов. Эти факты бросают яркий свет на многие вопросы психологии и пе­дагогики; более того, они учат нас многому о человеческом по­знании вообще.