Гравитационно-градиентные приборы

ЗАДАНИЕ

На НИРС

Студент Колесников А.В. СМ 5-18________________________

(Фамилия, инициалы, индекс группы)

График выполнения работы: 25% к____нед., 50% к____нед., 75% к____нед., 100% к____нед.

Техническое задание

Рассмотреть принципы навигации по геофизическим полям. Взять за основу навигацию по гравитационным и гравиградиентным полям. Рассмотреть математический аппарат, используемый в системах данного типа. Оценить возможности физической реализуемости гравиградиентных навигационных систем. Написать программу в пакете Matlab, которая будет моделировать работу гравиградиентной навигационной системы, установленной на борту ЛА. На основе полученной модели рассчитать основные характеристики данной системы.

Оформление НИРС

2.1. Расчетно-пояснительная записка на __ листах формата А4.

2.2. Перечень графического материала (плакаты, схемы, чертежи и т.п.)________________

_____________________________________________________________________________

Дата выдачи задания «22» сентября 2015 г.

Руководитель НИРС ______________________________ _Микаэльян С.В.

(Подпись, дата) (И.О.Фамилия)

Студент ______________________________Колесников А.В.

(Подпись, дата) (И.О.Фамилия)

СОДЕРЖАНИЕстр.

ВВЕДЕНИЕ. 4

1 Градиенты гравитации.. 6

2 Гравитационно-градиентные приборы.. 10

3 Карты гравитационного градиента и съемки.. 14

4 Моделирование работы ГГНС.. 22

4.1 Модель самолета.. 23

4.2 Модель бесплатформенной инерциальной навигационной системы.. 23

4.3 Модель гравитационного градиентометра.. 23

4.4 Алгоритм совпадения карт. 23

5 Результаты моделирования.. 26

5.1 Влияние рельефа.. 26

5.2 Влияние высоты полета.. 26

5.3 Влияние скорости полета.. 27

5.4 Влияние продолжительности полета.. 28

5.5 Влияние скорости дрейфа БИНС.. 29

5.6 Влияние компонента тензора гравитации.. 29

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 32

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 33

ВВЕДЕНИЕ

Все более возрастающие требования к скоростям, диапазонам высот, маневренности, предъявляемые к современным и перспективным летательным аппаратам (ЛА) и беспилотным ЛА (БПЛА), делают невозможным их эксплуатацию без точной и надёжной навигационной системы. Традиционно на борту аппарата роль такой системы выполняла инерциальная навигационная система (ИНС) на основе гироскопических элементов. Появление бесплатформенных ИНС (БИНС) позволило значительно упростить приборы навигации и стабилизации за счёт максимального использования возможностей бортовой цифровой вычислительной машины (БЦВМ), что удовлетворило требования минимизации размеров и цены. Однако существует немаловажная проблема, ограничивающая возможности БИНС. Это погрешности, возрастающие с течением времени. Поэтому важным требованием, предъявляемым к БИНС, является стабильная высокая точность измерений на протяжении всего полёта.

С развитием новых технологий появляются новые возможности повышения точности определения местоположения, например, такие спутниковые навигационные системы (СНС), как глобальная навигационная спутниковая система (ГЛОНАСС) и GPS. СНС относятся к классу многопозиционных радионавигационных систем и предназначены для определения пространственного местоположения объекта. Определение местоположения ЛА с помощью СНС основано на определении дальности до некоторого количества спутников (3-4 шт.) с заранее известным местоположением на искомый момент времени. Такой способ позволяет очень точно определить координаты ЛА, но обладает рядом существенных недостатков, таких как:

- дороговизна содержания группировки спутников;

- невозможность работы на участках с неустойчивой пеленгацией спутников и невозможность заранее определить такие участки;

- возможность внесения помех в работу приемников спутниковых сигналов;

- демаскировка объекта, использующего такой тип навигации.

В связи с этим, возникает необходимость использования систем, работа которых основана на других принципах. Недавние успехи в области навигации по гравитационным полям обеспечивают перспективу для гравиградиентных навигационных систем (ГГНС), которые измеряют пространственные производные вектора гравитации и сравнивают эти значения с имеющимися на борту цифровыми картами, чтобы уменьшить ошибки БИНС и сохранить её сильные стороны.

В данном НИРС будут рассмотрены компьютерные модели и алгоритмы, используемые при работе ГГНС, рассмотрена физическая реализуемость систем такого типа для навигации ЛА.

Градиенты гравитации

По закону тяготения Ньютона, сила притяжения между двумя массами происходит по прямой, соединяющей их, и имеет величину F:

(1)

где G – гравитационная постоянная (6.67408 × 10^-11 м³ кг^-1 с^-2),

m₁ и m₂ – массы двух объектов,

l – расстояние между этими двумя массами.

Если рассмотреть прямоугольную систему координат (рисунок 1), то, используя закон тяготения Ньютона и размещение притягиваемой массы m₂, равное единице массы, можно получить три компонента вектора гравитационной силы X, Y и Z, показанные в уравнении 2. Направление силы может также быть определено углами α, β и γ, которые измеряют вращение по осям x, y и z соответственно.¹

Рисунок 1 – Компоненты гравитационной силы

(2)

Если предположить, что Земля была бы точечной массой или идеальной сферой с постоянной плотностью, тогда, для данной высоты над поверхностью Земли, величина F была бы постоянной во всех широтах и долготах, и была бы направлена на север, восток и вниз системы координат. Так как Земля не идеальная сфера с постоянной плотностью, рельеф Земли неправильной формы, а присутствие других масс вызывает гравитационные притяжения, то гравитационный вектор изменяется в пространстве. Следовательно, пространственные производные гравитационного вектора также непостоянны. Более реалистическая модель Земли использовала бы бесконечное число из бесконечно малых точечных масс, чтобы аппроксимировать Землю, где общее количество гравитационных притяжений было бы суммой гравитационных притяжений, вызванных наличием каждой бесконечно малой точечной массой. Таким образом, полная гравитационная сила была бы найдена суммированием сил гравитационных притяжений от всех бесконечно малых точечных масс всего объема Земли:

(3)

где ρ – плотность бесконечно малых точечных масс,

dv – объем бесконечно малых точечных масс.

Из-за хаотичности рельефа Земли и распределений плотности по всему ее объему, вектор гравитационной силы также будет пространственно случаен. Следовательно, гравитационный потенциал φ и гравитационные градиенты Γ также пространственно случайны. Гравитационный потенциал является скалярной функцией, чьи первые и вторые пространственные производные дают гравитационный вектор и градиенты. Градиенты удобно представить, как тензор второго порядка с девятью компонентами. Следующие уравнения используют направления: север (N), восток (E), вниз (D) системы координат.

Гравитационный потенциал:

(4)

где r и r’ – местоположения притягиваемых и притягивающихся масс, соответствено.²

Вектор гравитационной силы в системе координат с направлениями север, восток, вниз:

(5)

где g – гравитационный вектор.

Гравитационные градиенты:

(6)

где Γ – градиенты.

В матрице девять гравитационных градиентов, первый нижний индекс обозначает направление гравитационного вектора, которое изменяется при движении в направлении, которое показывает второй нижний индекс. Например, член представляет изменение гравитационной силы в северном направлении для данного движения в восточном направлении. Так как , алгебраические свойства оператора Гамильтона означают, что сила тяжести есть потенциальное поле:

(7)

Расширение членов приводит к симметричной гравитационно-градиентной матрице. Симметричные члены гравитационно-градиентной матрицы:

(8)

В уравнении 8 представлены те же самые симметричные члены, как и в уравнении 6. Кроме того, когда плотность Земли принимается намного большей, чем плотность атмосферы, ранг матрицы гравитационного градиента равняется нулю в соответствии с уравнением Лапласа примененном к гравитационному потенциалу. Допущение, применяемое к гравитационным градиентам для атмосферного воздуха:²

(9)

Рассматривая предыдущие четыре уравнения, из девяти компонентов матрица гравитационных градиентов содержит только пять независимых членов. Другими словами, измерение пяти компонентов захватывает полный тензор второго порядка с предположениями, обсужденными выше.³

Чтобы предотвратить путаницу, важно определить различие между градиентами силы тяжести и гравитационными градиентами. Здесь эти термины используются попеременно, но традиционные определения дают ясное различие между двумя терминами. Гравитационный (gravitational) обращается к силам, определенным согласно закону тяготения Ньютона, в то время как сила тяжести (gravity) обращается к сумме гравитационных и центробежных сил. Центробежные обычно обращаются к силе, которую испытывает объект из-за вращения Земли. Наконец, также важно отметить единицы гравитационных градиентов.

Гравитационные градиенты часто представляются в Этвёш (Eö). 1 Этвёш – это эквивалент гравитационного градиента, вызванный 10 гранулами (≈10 миллиграмм) песка на расстоянии в 1 сантиметр:²

Гравитационно-градиентные приборы

Барон Роланд фон Этвёш, венгерский физик, ввел понятие прибора для успешного измерения градиента гравитации в 1890 году, когда он разработал и использовал крутильные весы для измерения малых градиентов силы тяжести, вызванных близлежащими сосредоточенными массами. Крутильные весы представляли градиент силы тяжести количеством поворотов тонкого провода, который был подвешен на металлическом коромысле с массой на каждом конце. Когда различные гравитационные силы действовали на массы, находящиеся на известном расстоянии, поворачивающая сила действовала на коромысло и скручивала тонкий провод.

Со временем, крутильные весы Этвёша обеспечили первое успешное измерение гравитационных градиентов и сделали измерения точных местоположений с большой чувствительностью.³

Рисунок 2 – Крутильные весы Этвёша

Прямое измерение Этвёшем гравитационных градиентов в точных местоположениях при помощи крутильных весов оставались непревзойденными много лет. Весы Этвёша имели точность ±3 Eö, В то время, как дифференцирование гравитационных градиентов для различных местоположений достигло точности гравитационного градиента ±10 Eö только в 1979 году. Понятие дифференцирования гравитационных измерений, измерение гравиметрами в различных местоположениях, обеспечивает фундаментальную иллюстрацию того, как работает современный гравитационно-градиентный прибор. Как показано на рисунке 3, два акселерометра выставлены в одном и том же направлении и отделены известным расстоянием, их измерения могут быть дифференцированы и затем разделены на разделяющее расстояние (зазор), чтобы получить гравитационный градиент. Совместимый с известным обозначением, первый нижний индекс обозначает направление выравнивания акселерометров, в то время как второй нижний индекс обозначает направление, в котором акселерометры отделены известным расстоянием.⁴

Рисунок 3 – Гравитационные градиенты, измеряемые акселерометрами

При использовании акселерометров, можно уравновесить силы, возникающие в процессе движения ЛА. Вообще, поступательные движущие силы ЛА нейтрализуются, когда два акселерометра прикрепляются к жесткой раме и их показания дифференцируются.

Примером ГГНС на основе акселерометров могут быть три градиентометра, установленные на устойчивой гиростабилизированной платформе. Каждый градиентометр включает в себя два акселерометра, расположенных на известном расстоянии друг от друга. Точность такой системы достигла 5 Eö и стимулировала применение ГГНС, прежде всего потому, что измерения градиента гравитации на движущихся платформах давали возможность быстрого и удобного сбора данных по всем видам рельефа и даже под водой (например, для автомобилей, самолетов, кораблей и субмарин).

На сегодняшний момент существуют и другие типы ГГНС, но только ГГНС на основе акселерометров успешно используется в аэробортовых съемках.

Базируясь на оценке точности текущих и разрабатываемых ГГНС, можно приблизительно определить технические характеристики систем такого типа в ближайшие 10 лет (таблица 1).

Таблица 1 – Приближенные характеристики работы современных и будущих ГГНС

ГГНС	СПМ,	fs, Гц	СКОшума, Eö	fc, Гц	СКО шума после фильтрации, Eö
Настоящее	2,23		1,58	0,2	1,0
Будущее	0,223		0,158	0,2	0,1

Спектральная плотность мощности шума (СПМ) определяет уровень шума гравиградиентометров в предположении о нулевом среднем и Гауссовским распределением.

СКО шума, с учётом СПМ и частоты осуществления выборки fs:

.

(10)

Для уменьшения шумовых составляющих обычно применяют фильтр низких частот Баттерворта (Butterworth). В таблице 1 f_c представлена частота отсечки низкочастотногого фильтра Баттерворта. При данной постоянной частоте отсечки, пространственная разрешающая способность данных гравиградиентометров будет увеличиваться с уменьшением скорости транспортного средства. И наоборот, пространственная разрешающая способность уменьшается при увеличении скорости. Увеличение частоты отсечки увеличивает пространственную разрешающую способность на более высоких скоростях, но увеличивается и шум, проходящий через фильтр. Если же частота отсечки устанавливается выше частот сигнала, проходящих через фильтр, то сигнал мог бы содержать частоты выше, чем частота Найквиста. В этом случае, произошло бы замещение, где частота выборки недостаточно высока, т.е. способность захватить спектр частоты сигнала была бы потеряна.⁴