Определение исходных размерных характеристик

Теоретические основы

В ходе двухступенчатого процесса определяется поверхностное натяжение. Вначале определяются габаритные параметры R₀ и β на основе сечения капли, затем из этих параметров вычисляется поверхностное натяжение с помощью уравнения,

g = Dr g R₀² / b [2]

Где Dr это разность массовой плотности между каплей и окружающей средой, g это гравитационная константа, R₀ – радиус кривизны у вершины капли, а b - форм фактор, определяемый из этого уравнения. По условиям задачи, Dr определяется так, что значения Dr и b отрицательны для висячих капель (pendant drops), и положительны для лежащих капель (sessile drops).

Уравнения, описывающие сечение капли, выводятся из уравнения Юнга-Лапласа и могут быть выражены в безразмерном виде:

d θ/dS = 2 - β Y - sin θ /X [3]

dX/dS = cos θ [ 4 ]

dY/dS = sin θ [ 5 ]

Координаты x, y, s и θ представлены ниже.

Размеры и символы, использованные в этой программе

Параметр, s, это расстояние вдоль контура капли от вершины капли. X, Y и S это безразмерные параметры, получаемые последовательным делением x, y, и s, на R₀. Для висячих капель, значения b и разности плотностей, Dr, будут отрицательными, а для лежащих капель, b и Dr - положительными. С помощью численного интегрального алгоритма Кутта-Мерсона с автоматической регулировкой длины шага, было рассчитано большое число теоретических безразмерных сечений для всего возможного диапазона b, от b= -0.55 до 1020. Максимальная относительная погрешность была задана на уровне 10^-4. Каждое сечение обсчитывалось математически методом кубической интерполяции. Таким способом были выведены кривые, увязывающие параметры b и R₀ с эмпирическими параметрами, как указано на рисунке. Для выведения кривых были использованы линейные многочлены в рамках метода наименьших квадратов.

Для «нормальных» висячих капель (т.е. капель достаточной длины, чтобы измерить D_S) используется максимальные диаметр, D_E, и соотношение s = D_S/D_E (D_S это диаметр на расстоянии D_E от вершины капли). Полученное уравнение выглядит так (b здесь имеет отрицательное значение):

β = -0.12836 + 0.7577 σ - 1.7713 σ 2 + 0.5426 σ ³ [6]

Из этих же данных находим уравнение для D_E/2R₀:

D_E/2R₀ = 0.9987 - 0.1971 b - 0.0734 b² - 0.34708 b³ [7]

Для висячих капель, которые слишком коротки, чтобы можно было определить у них D_S, и для всех лежащих капель, мы используем «высоту» капли, H, и «радиус», R=D_E/2. Если мы заменим H на R₀ в уравнении [2], мы запишем,

g = DrgH²/B [8]

- где B это преобразованный параметр контура капли. Для лежащей капли, и R₀, и b могут увеличиться на несколько порядков, по мере того как капля увеличивается и выполаживается , но таким образом, что величина g остается неизменной. Легко видеть, что у H есть верхний предел из-за максимального гидростатического давления, которому может «сопротивляться» поверхностное натяжение. Когда капля становится бесконечно широкой, только значение радиуса кривизны капли будет иметь значение, а ограничивающая величина B будет 2.0. Таким образом, уравнение [8] более удобно для лежащих капель и может также использоваться для «коротких» висячих капель. Параметр B можно вывести из уравнения.[2] и [8] как функцию соотношения x=H/R.

B = b ´ (H/R₀)² = f(x) [9]

Безразмерное соотношение H/R₀ также будет функцией x, и мы можем записать H/R0 = g(x) or R₀ = H/g(x) [10]

Объединяя [8] и [9]: b = f(x)/g(x)² [11]

Функция B = f(ξ ) имеет максимальное B=2.290 при ξ = 0.285, что примерно соответствует β = 5000. Это означает, что «высота» капли, H, также должна достигать максимума при этой величине ξ. Это должно представлять оптимальную величину для суммы двух радиусов кривизны, что означает, что при более высоких значениях объема капли, кривизна в горизонтальной плоскости должна увеличиваться в большей степени, чем противоположное увеличение в вертикальной плоскости. Функция B=f(ξ) может быть математически аппроксимирована с помощью различных функций, в зависимости от области определения ξ и требуемой степени точности. Точных аналитических решений найдено не было, но эксперименты показывают, что обычные линейные многочлены дают хорошее приближение в большинстве случаев, с использованием ξ -1 в качестве независимой переменной и стремлением значения постоянного члена к 0. В районе значений ξ =1, ситуацию можно приблизительно описать прямой линией с наклоном 4.38, в то время как для всех значений ξ >0.34 (т.е. β <1000) мы можем использовать многочлен 4-го порядка со стандартной погрешностью в 0.0018. Вследствие противоположных значений кривизны на положительных и отрицательных участках кривой, лучше использовать отдельные уравнения для большей точности. Таким образом

x<1: f(x) = - 4.1788 (x-1) + 1.9086 (x-1)² + 4.5738 (x-1)³ [12a]

x>1: f(x) = - 4.3626 (x-1) + 1.1961 (x-1)² [12b]

Эти уравнения дают очень хорошие оценки величины во всех областях, представляющих практический интерес, где наклон кривой при ξ =1 равен 1.723. Чтобы получить хорошие расчеты для целой области значений ξ >0.34, мы также должны выбрать два отдельных многочлена, которые дают стандартную погрешность 0.0007.

x<1: g(x) = 1 + 1.6795 (x-1) - 0.58334 (x-1)² -1.4257 (x-1)³ [13a]

x>1: g(x) = 1 + 1.7356 (x-1) - 0.40869 (x-1)² [13b]

Имея эти две функции, мы можем легко рассчитать R₀ и b для всех величин b<1000 на основе измеренных H и R и уравнений [10] и [11].

Экспериментальная процедура

Значения R₀ и b можно найти на основе экспериментальных координатных данных с помощью нескольких методик численного сглаживания. Для висячих капель, центральная ось капли определяется линией регрессии первого порядка, проходящей через все точки, с использованием y-значений в качестве независимых, а x-значений– в качестве зависимых переменных. Для лежащих капель используется среднеквадратическая линия, проходящая через средние значения всех соответствующих точек от основания вверх до точки поворота (45^o). Нижнюю точку капли, т.е. точку, где центральная ось пересекает сечение капли, можно определить применением многочлена 4-го порядка без членов 1-го и 3-го порядка ко всем точкам в нижнем сечении вверх до предела y/x=0.4. Расстояние по горизонтали от этой средней линии и определит впоследствии координаты y. Однако результаты можно еще улучшить применением субпиксельного разрешения, исправив таким

образом, небольшие отклонения в вертикальном направлении, т.е. перекос капли (skewness). Новый x-координаты вычисляются с помощью уравнения

xi' = xi - a yi' xi'' = xi - a yi'' [14]

-где x’ и x'' это скорректированные координаты для левой и правой сторон капли, соответственно (y' и y'' имеют противоположные знаки). На самом деле, аналогичным образом можно скорректировать значения y, используя коэффициент , но эти поправки будут незначительными, так как aимеет очень малую величину, и ей можно пренебречь.

Параметры R и H определяются отдельно для каждой стороны с помощью многочлена второго порядка через 10% точек с каждой стороны, близких к максимуму. Было обнаружено, что этот многочлен демонстрирует наиболее стабильные результаты определения этих параметров для большинства условий, даже с учетом того, что уравнение третьего порядка, в принципе, является более точным, вследствие асимметричной природы стороны капли. Для определения of R₀ и β, значения двух сторон усредняются; кроме того, можно вычислить коэффициент асимметрии из уравнения,

Ass = 2 (H' - H'')/(H' + H'') [15]

Величина Ass дает представление о надежности окончательных результатов, так как капли с высоким коэффициентом асимметрии обычно дают неточные результаты. Эта методика определения R₀ и b используется для всех лежащих капель и висячих капель, когда нельзя определить D_S ("короткие капли"). Для обычных, "длинных", висячих капель, используется метод с использованием соотношения D_S/D_E, как указано выше, из-за повышенной точности. Величина D_E определяется просто как сумма D_E=R'+R'', в то время, как величина D_S на расстоянии D_E от вершины капли определяется методикой многочлена второго порядка аналогично определению R' и R''.

Оптимизация координатных данных

Для достижения еще большей точности и воспроизводимости данных поверхностного натяжения, появляется необходимость использовать все координатные данные сечений в процессе оптимизации параметров методом наименьших квадратов. Данные, описывающие стороны капли объединяются в одном сечении с началом координат у вершин капли и направлением оси, как показано на рисунке. В этом процессе величины y корректируются на разность между R' и R'', добавлением и вычитанием (R'-R'')/2, соответственно. Эта корректировка уменьшает отклонения между данными с двух сторон, и обычно дает лучшие результаты оптимизации при объединении двух сторон.

Так как исходные значения b и R₀ уже достаточно близки к оптимальным, то для оптимизации применяется относительно простой, но эффективный метод интерполяции/экстраполяции второго порядка (поверхность отклика). Для этого вычисляются 9 теоретических сечений в сетке 3x3 в районе стартовых значений R₀ и b с помощью численного интегрирования уравнения Юнга-Лапласа и с

использованием алгоритма Кутта-Мерсона с максимальной величиной погрешности 10^-4. Зернистость испытательной сетки 1% по b и 0.2% по R₀.

Целевая функция, используемая в оптимизации, представляет собой нормальное (т.е. перпендикулярное) среднеквадратичное отклонение между теоретическими и экспериментальными точками, задаваемое уравнением

[16]

- где среднеквадратичное значение в направлении y, Dy, задается,

[17]

Среднеквадратическое значение вычисляется в пределах между x= 0.2 R₀ и максимальным значением в массиве данных. N - это число точек данных. Теоретическая величина вычисляется для каждого экспериментального значения xс помощью кубической интерполяции (через 4 ближайшие теоретические точки, по 2 с каждой стороны).

Результат однократной оптимизации сечения в данной программе называется "контурным" методом. Иногда, при работе с лежащими каплями, приходится проводить оптимизацию дальше, чтобы свести к минимуму функцию ошибок. Можно запрограммировать повторение оптимизации до момента достижения сближения данных. Эта процедура называется «оптимизированный контур». Эксперименты часто показывают, что сложно улучшить значение γ, особенно, в случае больших висящих капель. Лежащие капли имеют гораздо больший разброс возможных значений β, и их гораздо сложнее оптимизировать, особенно, при малых значениях β (0<β <1), которых следует избегать. Кроме того, лежащие капли более подвержены экспериментальным ошибкам, которые возникают из-за неравномерного смачивания по периметру капли, что ведет к недостаточной осесимметричности. Это явление часто вызывает высокие значения фактора асимметричности (несколько %), и проблемы с совпадением данных в процедуре оптимизации, как указано выше.

Измерение контактных углов.

Методика #1

Для измерения углов контакта данная программа использует два различных метода. Первый метод использует теоретическое сечение капли, которое является частью вычисления межфазного напряжения, которая описывает построение кривых. Это означает, что вся капля должна быть в поле зрения, ее поверхность должна быть не нарушена, т.е. таких предметов, как стержни или трубки (пипетки) в поле зрения не должно быть. Так как для измерения межфазного напряжения должны быть выполнены все условия, вычисления угла контакта будут всегда проводиться во время измерения межфазного напряжения. Из теоретических координат, рассчитанных с помощью численного интегрирования уравнения Юнга-Лапласа, лишь немногие будут точно совпадать с границей капли (горизонтальным координатным курсором). Поэтому программа будет использовать интерполяцию между двумя точками с каждой стороны, плюс еще по две точки в случае кубической интерполяции. Было доказано, что эта интерполяция дает очень точные результаты, по сравнению с точными теоретическими вычислениями.

Методика #2

Второй метод вычисления угла контакта чисто числовой. Суть метода в размещении на экране горизонтальной линии, рядом с которой совмещается твердая поверхность. Затем применение процедуры фильтрации изображения позволит получить правильно сориентированное сечение капли. Угол контакта легко вычисляется числовым дифференцированием профиля капли в месте контакта. Из-за явления отражения в субстрате и некоторой дифракции, 2-3 точками рядом с точкой контакта придется пренебречь. Различные методы числового дифференцирования дают значительный разброс результатов из-за применяемой экстраполяции. В данной программе применяется метод подвижного секанса с линейной экстраполяцией к точке контакта. Этот метод представляется наиболее надежным из тех, чтобы были опробованы; он позволяет получить значения в пределах между чисто линейным дифференцированием, которое обычно недооценивает угол контакта, и методом многочленов более высокого порядка, который тяготеет к завышению величины угла.

Метод #2 можно использовать тогда, когда сечение капли полностью не просматривается; например, можно использовать пипеточный метод измерения наступающих/отступающих углов контакта.-