Упражнение 1. Измерение длины свободного пробега частицы

Пауткина А.В.

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Методические указания к лабораторной работе № 95 по физике

МОСКВА - 2012

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра «Физика»

Пауткина А.В.

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Методические указания к лабораторной работе № 95 по физике

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов ИУИТ, ИПСС и ИТТСУ

МОСКВА -2012

УДК 530.1 (076)

П-21

Пауткина А.В. Броуновское движение. Методические указания к лабораторной работе № 95 по физике. – М.: МИИТ, 2012. – 22 с.

Методические указания к лабораторной работе № 95 соответствуют программе и учебным планам по курсу общей физики (раздел «Термодинамика и молекулярная физика»).

Методические указания предназначены для студентов ИУИТ, ИПСС и ИТТСУ.

ã Московский государственный

университет путей сообщения

МИИТ, 2012

Работа 95

БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Цель работы:изучение основных закономерностей броуновского движения, измерение длины свободного пробега частицы, проверка зависимости коэффициента диффузии от температуры среды, проверка зависимости коэффициента диффузии от радиуса сферической частицы.

Приборы и принадлежности:рисунки, включённые в текст работы.

Введение.Творцом идеи атома принято считать Демокрита[1]. Легенда рассказывает, что однажды Демокрит сидел на камне у моря и держал в руке яблоко, размышляя: «Если я сейчас это яблоко разрежу пополам, то у меня останется половина яблока. Если затем эту половину я разрежу пополам снова на две части, останется четверть яблока. Но если я дальше буду продолжать такое деление, всегда ли у меня будет оставаться , и т.д. часть яблока? Или же в какой-то момент очередное деление приведёт к тому, что оставшаяся часть яблока уже не будет обладать свойствами яблока?» По зрелом размышлении философ пришёл к выводу, что предел такого деления существует, и назвал эту последнюю неделимую частицу атомом, что в буквальном переводе и означает «неделимый» или «неразрезаемый». Свои мысли Демокрит изложил в книге «Малый диакосм».

Однако, до тех пор, пока гипотезу об атомах не подтвердили опытом, она оставалась только гипотезой.

В правоте Демокрита впервые наглядно мог убедиться шотландский ботаник Роберт Броун[2]. В 1827 году это был уже немолодой директор ботанического отдела Британского музея. В юности он провёл четыре года в экспедициях по Австралии и привёз оттуда около четырёх тысяч видов растений. Двадцать лет спустя он всё ещё продолжал изучать коллекции экспедиции. Летом 1827 года Броун обратил внимание на то, что мельчайшая пыльца растений произвольно двигается в воде под действием неизвестной силы. Он тут же опубликовал статью, заглавие которой очень характерно для той неторопливой эпохи: «Краткий отчёт о микроскопических наблюдениях, проделанных в июне, июле и августе 1827 года над частицами, содержащимися в пыльце растений и о существовании активных молекул в органических и неорганических телах».

Сначала его опыт вызвал недоумение. Это недоумение усугубил сам же Броун, пытаясь объяснить обнаруженное явление некоей «живой силой», которая якобы присуща органическим молекулам. Естественно, такое прямолинейное объяснение «броуновского движения» не удовлетворило учёных, и они предприняли новые попытки изучения его особенностей. Среди них особенно много сделали голландец Карбонэль (работы 1880 г.) и француз Гун (работы 1888 г.). Они поставили тщательные опыты и выяснили, что броуновское движение не зависит от внешних воздействий: времени года и суток, добавлений солей, вида пыльцы и «… наблюдается одинаково хорошо ночью в деревне и днём вблизи многолюдной улицы, где проезжают тяжёлые экипажи». Оно не зависит даже от вида частичек, а только от их размеров и массы и, что самое главное, никогда не прекращается.

Надо сказать, что первое время странное движение не обратило на себя должного внимания. Большинство физиков о нём вообще ничего не знали, а те, кто знал, считали его неинтересным, полагая, что это явление аналогично движению пылинок в солнечном луче. Лишь сорок лет спустя впервые оформилась мысль о том, что видимые в микроскоп беспорядочные движения пыльцы растений вызваны случайными толчками маленьких невидимых частиц жидкости. После работ Гуи в это поверили почти все, и гипотеза об атомах приобрела множество последователей.

Броуновское движение - беспорядочное движение малых частиц, взвешенных в жидкости или газе, происходящее под действием ударов молекул окружающей среды. Исследовано в 1827 году Р. Броуном, который наблюдал в микроскоп движение цветочной пыльцы, взвешенной в воде. Наблюдаемые частицы (броуновские частицы) размером 1 мкм и менее совершают неупорядоченные независимые движения, описывая сложные зигзагообразные траектории. Интенсивность броуновского движения не зависит от времени, но возрастает с ростом температуры среды, уменьшением её вязкости и размеров частиц (независимо от их химической природы). Полная теория броуновского движения была дана А.Эйнштейном (А.Einstein) и М.Смолуховским (М.Smoluchowski) в 1905 – 06 годах. Причины броуновского движения - тепловое движение молекул среды и отсутствие точной компенсации ударов, испытываемых частицей со стороны окружающих её молекул, т.е. броуновское движение обусловлено флуктуациями давления. Удары молекул среды приводят частицу в беспорядочное движение: скорость её быстро меняется по величине и направлению. Если фиксировать положение частиц через небольшие равные промежутки времени, то построенная таким методом траектория оказывается чрезвычайно сложной и запутанной, рис.1.

Броуновское движение - наиболее наглядное экспериментальное подтверждение представлений молекулярно-кинетической теории о хаотическом тепловом движении атомов и молекул.

Если промежуток наблюдения t достаточно велик, чтобы силы, действующие на частицу со стороны молекул среды, много раз меняли своё направление, то средний квадрат проекции смещения частицы <l > на какую-либо ось (в отсутствие других внешних сил) пропорционален времени t (закон Эйнштейна):

<l >=2Dt, (1)

где D-коэффициент диффузии броуновской частицы.

Для сферических частиц радиусом r:

D= , (2),

здесь T - абсолютная температура, - динамическая вязкость среды, k – постоянная Больцмана.

Удобной характеристикой броуновского движения является свободный пробег частицы.Свободным пробегом называется путь, пройденный частицей между двумя последовательными соударениями.

На рисунке 2 приведёны траектории произвольных броуновских частиц в разные интервалы времени. На рисунке 3 (а,б) приведены траектории одной и той же броуновской частицы, которая двигалась в одной и той же среде при разных температурах. На рисунке 4 (а,б) приведены траектории двух разных частиц, двигавшихся в одной и той же среде при одинаковых температурах, частицы были сферической формы и отличались радиусами.

При выводе закона Эйнштейна предполагается, что смещения частицы в любом направлении равновероятны и что можно пренебречь инерцией броуновской частицы по сравнению с влиянием сил трения (это допустимо для достаточно больших интервалов времени наблюдения t). Формула для коэффициента D основана на применении закона Стоксадля гидродинамического сопротивления движению сферы радиусом rв вязкой жидкости. Соотношения для <l > и D были экспериментально подтверждены измерениями Ж.Перрена (J.Perrin) и Т.Сведберга (Т.Svedberg). Из этих измерений экспериментально определены постоянная Больцмана и число (постоянная) Авогадро.

Кроме поступательного броуновского движения существует также вращательное броуновское движение - беспорядочное вращение броуновской частицы под влиянием ударов молекул среды. Для вращательного броуновского движения среднее квадратичное угловое смещение частицы также пропорционально времени наблюдения и описывается аналогичными зависимостями. Эти соотношения были также подтверждены опытами Перрена, хотя этот эффект гораздо труднее наблюдать, чем поступательное броуновское движение.

Теория броуновского движения исходит из представления одвижении частицы под влиянием «случайной» обобщённой силы F(t), которая описывает влияние ударов молекул и в среднем равна нулю, систематической внешней силы F, которая может зависеть от времени, и силы трения , возникающей при движении частицы в среде со скоростью . Уравнение случайного движения броуновской частицы называется уравнение Ланжевена и имеет вид:

, (3)

где т — масса частицы, - коэффициент трения при движении частицы в среде. Для достаточно больших промежутков времени (t>> ) инерцией частицы (т. е. членом )можно пренебречь и, проинтегрировав уравнение Ланжевена при условии, что среднее произведение импульсов случайной силы для не перекрывающихся промежутков времени равно нулю, найти средний квадрат флуктуаций <x >, т.е. вывести соотношение Эйнштейна.

Вывод соотношения Эйнштейна для броуновского движения можно посмотреть в приложении.

Теория броуновского движения имеет принципиальное значение: она проясняет статистическую природу второго начала термодинамики и показывает границы его применимости. Она позволила уточнить критерии обратимости и необратимости молекулярных процессов и показать, что различие между ними не носит абсолютного характера. По М. Смолуховскому процесс является необратимым, если переход из рассматриваемого состояния в исходное требует большого времени и обратимым, если время возврата невелико.

Теория броуновского движения находит применение в физхимии дисперсных систем, на ней основаны кинетическая теория коагуляции растворов, теория седиментации равновесия (равновесия дисперсных систем в поле сил тяготения или в поле центробежной силы). В метрологии броуновское движение рассматривается как основной фактор, ограничивающий чувствительность измерительных приборов. Предел точности измерений оказывается достигнутым, когда броуновское смещение подвижных частей измерительного прибора по порядку величины совпадает со смещением, вызванным измеряемым эффектом.

Порядок выполнения работы

Упражнение 1. Измерение длины свободного пробега частицы

На рисунке 2 (а, б, в) приведёны траектории броуновских частиц в разные интервалы времени. На рисунке также проведены отрезки, по которым двигались частицы между каждыми двумя последующими соударениями.

Выбрать один из вариантов рисунка (а, б или в).

1. Измерить расстояния, пройденные броуновской частицей между каждыми двумя последовательными соударениями, приводящими к изменению направления движения частицы (свободные пробеги частицы).

Данные занести в таблицу 1.

2. Рассчитать средний квадрат смещения частицы <l >:

, (4)

где n – полное число измерений, i – индекс суммирования, l_i- результат измерения с номером i.

3. Считая, что время движения частицы равно t = 1 мин, по формуле (1) рассчитать коэффициент диффузии броуновской частицы

. (5)

4. Рассчитать погрешность по формуле:

. (6)

Оценим погрешность измерения величины <l > следующим образом:

, (7)

равна половине цены наименьшего деления линейки, которой измерялись длины отрезков.

Измерения проводились железной линейкой. Приборная погрешность - половина цены деления, т.е. 0,5 мм. Поскольку приборная погрешность много меньше случайной погрешности, необходимо рассчитать случайную погрешность и указать её в окончательном ответе.

n - число измерений

α - коэффициент Стьюдента (из таблицы коэффициентов Стьюдента для доверительной вероятности W=0,95)

- среднее значение длины свободного пробега

Ошибку при измерении времени считать равной нулю.

5. Привести ответ в общем виде

,

указав единицы измерения в СИ.

Таблица 1

Значения длин свободного пробега броуновской частицы

№	li , м	li2∙10-6м2

Примечание:данные рисунка 2а (или 2б или 2в)