Упражнение 2. Проверка зависимости коэффициента диффузии от температуры среды

Таблица 2

Значения длин свободного пробега броуновской частицы

№	, м Т	∙10-6м2	, м Т	∙10-6м2

2.1. Повторить измерения длин свободных пробегов так же, как это сделано в упражнении 1 для траекторий движения частицы на рисунке 3 (а, б). Данные занести в таблицу 2.

2.2. Рассчитать коэффициенты диффузии при разных температурах и .

3.3. Считая, что температура в 2 раза больше температуры , проверить, выполняется ли зависимость (2), т.е. найти отношение .

Рис. 3. Траектории движения броуновской частицы: а – при температуре , б – при температуре .

3.1. Повторить измерения длин свободных пробегов так же, как это сделано в упражнении 1 для траекторий движения частицы на рисунке 4 (а,б). Данные занести в таблицу 3.

3.2. Рассчитать коэффициенты диффузии при разных радиусах частиц и .

3.3. Считая, что радиус в 2 раза меньше радиуса , проверить, выполняется ли зависимость (2), т.е. найти отношение .

Таблица 3

Значения длин свободного пробега броуновской частицы

№	, м Т	∙10-6м2	, м Т	∙10-6м2

Рис. 4. Траектории движения броуновских частиц: а – частицы с радиусом , б – частицы с радиусом

Работа с Интернет-ресурсами

Зайти по ссылке

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/88f2ea3f-1732-4c72-8513-3dba9b8ae057/7_20.swf

Наблюдать анимацию движения броуновской частицы в течение 10-15 секунд, сделать скрин-шот экрана и вставить в бланк отчёта.

Контрольные вопросы

1. Описать явление броуновского движения.

2. Когда и кем оно было открыто?

3. Как выглядит траектория движения броуновской частицы?

4. Что такое броуновские частицы и от чего зависит скорость их движения?

5. Каковы причины броуновского движения частиц в жидкости или газе?

6. Каковы количественные характеристики поступательного броуновского движения?

7. Что такое длина свободного пробега частицы?

8. Какие постоянные можно вычислить, используя закон Эйнштейна для броуновского движения?

9. Какое значение имеет броуновское движение для подтверждения молекулярно-кинетической теории?

10. Какое значение имеет броуновское движение для метрологии?

Список литературы

1. Физическая энциклопедия/М.: «Советская энциклопедия», 1988. – Т.1. – С.229-230.

2. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике/М.: Мир, 2001. – Т.4. – Гл.41. – С.294.

3. А.Эйнштейн, М.Смолуховский. Броуновское движение/Сб.ст. (пер. с нем. и франц.)/М.-Л.:Физматгиз, 1936. – 106с.

4. Л.И.Пономарёв. Под знаком кванта/М.:Наука, 1989. – 368с.

5. Трофимова Т. И. Курс физики / М.: Высшая школа, 2009 и далее – 544 с.

6. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. – М.: Изд-во «Академия», 2008. – 720 с.

7. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3-х т. – М.: Наука, 1987-2010.

Приложение

Вывод соотношения Эйнштейна

Для броуновского движения

Пусть частица (т.н. броуновская частица) движется в жидкости и на частицу со стороны молекул жидкости действуют силы, средняя результирующая которых равна нулю. Тогда движение частицы вдоль некоторой оси x описывается уравнением

(1)

m - масса частицы, r - коэффициент вязкого трения.

Умножим обе части уравнения на x и воспользуемся равенством

(2)

Тогда уравнение примет вид

(3)

Проведём усреднение уравнения по большому количеству броуновских частиц:

(4)

Вследствие хаотичности движения броуновской частицы можно считать, что величины координаты x и силы F являются взаимно статистически независимыми и среднее значение их произведения равно нулю

(6)

Кроме того, по теореме термодинамики о распределении средней кинетической энергии по степеням свободы можно записать, что

(7)

Тогда уравнение (4) примет вид

(8)

Пусть в момент времени t=0 броуновская частица находится в точке с координатой x=0. Поэтому

(9)

Для этого случая решение уравнения (8) можно записать в форме

(10)

Здесь является пренебрежимо малой величиной по сравнению со временем наблюдения за броуновской частицей. При t>>τ, что соответствует случаю установившегося броуновского движения, получаем

(11)

Воспользовавшись равенством

, (12)

преобразуем формулу (11) к виду

(13)

Проинтегрируем это выражение с учётом начального условия

(14)

Получаем

, (15)

D - коэффициент диффузии броуновской частицы:

(16)

Именно эта формула была получена А. Эйнштейном в 1905 году и носит его имя (соотношение Эйнштейна для броуновского движения).

Независимо от Эйнштейна в 1905 - 1906 годах теория броуновского движения были разработана польском физиком Марианом Смолуховским. Полученное им выражение совпадало с формулой (15) с точностью до постоянного множителя порядка единицы.

Учебно-методическое издание

Пауткина Анна Владимировна

БРОУНОВСКУОЕ ДВИЖЕНИЕ

Методические указания к лабораторной работе № 95

по физике

Подписано к печати Заказ № Формат 60 × 84 × 21/16

Усл.-печ. л. Изд. № 192-10 Тираж 100 экз.

127994, Москва, ул. Образцова д. 9, стр. 9.

Типография МИИТа

[1] О жизни его и личности мы знаем мало: известно, что философ родился в ионийской колонии Абдера на Фракийском берегу Средиземного моря. Кроме своего учителя Левкиппа он учился у халдеев и персидских магов, много путешествовал, много знал. Демокрит прожил около ста лет и в 370 году до н.э. был похоронен за общественный счёт гражданами родного города, которые его глубоко почитали. Многие поколения художников изображали Демокрита высоким, с короткой бородой, в белом хитоне и сандалиях на босу ногу.

[2] Роберт Броун (R. Brown, Браун – в другой транскрипции) (1773-1858).