КРУТИЛЬНО-БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Лабораторная работа № 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ ПРИ ПОМОЩИ

КРУТИЛЬНО-БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы:

1. Изучить законы сохранения момента импульса и механической энергии.

2. Определить скорость пули при помощи крутильно-баллистического маятника.

Теоретическое введение

Энергия тела (Е) - это скалярная физическая величина, характеризующая различные формы движения и взаимодействия материи.

В соответствии с различными формами движения и взаимодействия материи различают различные виды энергии: механическую, внутреннюю, ядерную и т.д. В процессе взаимодействия тел форма движения материи может изменяться, при этом происходит превращение одного вида энергии в другой. Изменение вида энергии обусловлено действием на тело (систему тел) сил и связано с совершением работы:

,

где DЕ - изменение энергии тела (системы тел); А - работа сил, действующих на тело (систему тел).

Единица измерения: .

Под системой тел понимают совокупность тел, рассматриваемых как единое целое. Силы взаимодействия между тела самой системы называются внутренними силами, а силы, с которыми на тела системы действуют тела, не включенные в рассматриваемую систему, называются внешними.

Система тел называется замкнутой (изолированной), если на неё не действуют внешние силы, то есть тела системы взаимодействуют между собой и не взаимодействуют с другими телами.

На систему тел могут действовать:

1) Консервативные силы - силы, работа которых зависит только начального и конечного положения движущегося тела и не зависит от формы траектории. К ним относятся: сила тяжести, сила упругости, сила Кулона и т.д.

2) Неконсервативные силы- силы, работа которых зависит от формы траектории. К ним относится сила трения.

В связи с этим:

Система тел называется консервативной, если внутренние и внешние силы, действующие на систему, являются консервативными.

Система тел называется диссипативной, если внутренние или внешние силы, действующие на систему, являются неконсервативными.

В классической механике рассматривается механическая энергия тела - это скалярная физическая величина, характеризующая механическое движение и взаимодействие тела как целого. Механическая энергия тела складывается из кинетической (Е_к) и потенциальной (Е_р) энергии тела.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ (Ек)	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (Ер)
характеризует механическое движение тела	характеризует механическое взаимодействие тела с другими телами
1. Зависит от выбора системы отсчёта. 2. Всегда положительна или равна нулю (Ек³0)	1. Зависит от выбора нулевого уровня. 2. Может быть как положительной (Ер>0), так и отрицательной (Ер<0).
Теорема об изменении кинетической энергии тела: Работа всех сил (консервативных и неконсервативных), действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела:	Теорема об изменении потенциальной энергии тела: Работа консервативных сил, действующих на тело, равна изменению потенциальной энергии тела, взятому со знаком «минус», т.к. работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии:

Вид формулы для расчёта того или иного вида энергии зависит от вида движения и взаимодействия тела. Например:

1. Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

,

где m - масса тела; v - скорость тела.

2. Кинетическая энергия тела при вращательном движении:

,

где I - момент инерции тела; ω - угловая скорость тела.

3. Кинетическая энергия тела при одновременном поступательном и вращательном движении:

,

4. Потенциальная энергия тела при гравитационных взаимодействиях:

,

где m₁, m₂ - массы взаимодействующих тел; G - гравитационная постоянная, r - расстояние между телами; нулевой уровень r → ∞.

Если рассмотреть гравитационное взаимодействие тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, с Землёй (М_З), то:

,

или для малых высот (h<<R_З), с учётом :

,

где m - масса тела; g - ускорение свободного падения, h - высота, на которую поднято тело над нулевым уровнем (поверхностью Земли).

5. Потенциальная энергия тела при упругих взаимодействиях:

а) ,

где k - жёсткость тела (пружины); х - величина деформации (сжатия или растяжения),

б) ,

где k - жёсткость тела (пружины); φ - величина деформации (кручения).

Если рассматривается не одно тело, а система тел, то механическая энергия системы тел (Е_сист) равна сумме механических энергий тел Е_i, входящих в систему:

.

Закон сохранения механической энергии: В замкнутой консервативной системе тел механическая энергия системы не изменяется, т.е. остаётся постоянной.

где - механическая энергия системы тел в начальном состоянии; - механическая энергия системы тел в конечном состоянии.

Если хотя бы одно из условий (замкнутости или консервативности) нарушено, то механическая энергия системы не сохраняется и следует использовать закон изменения механической энергии:

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О ( ) – это векторная физическая величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки О к материальной точке, на импульс :

;

Модуль момента импульса:

L₀ = r·p·sina = mv·r·sina = p·l,

где a - угол между векторами и ,l – плечо вектора относительно точки О – кратчайшее расстояние от линии действия импульса до точки О (рисунок 1).

Направление вектора определяется по правилу буравчика (правого винта): если вращение шляпки винта соответствует повороту от вектора к вектору по наименьшему углу, то прямолинейное движение винта укажет направление вектора .

Единица измерения:

.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси вращения z (L_z) – это скалярная физическая величина, численно равная проекции вектора на эту ось (рисунок 2), т.е.

L_z = p·l.

Очень часто в механике рассматривается вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси вращения (например, оси z).

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения z - это скалярная физическая величина, численно равная сумме моментов импульса материальных точек, составляющих тело (рисунок 3):

Так как при вращательном движении все точки тела движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения Oz (центры всех окружностей лежат на оси Oz), то в этом случае для i-той материальной точки можно записать:

,

где r_i - расстояние до оси вращения z, а для всего тела:

.

Так как все точки абсолютно твёрдого тела движутся с одинаковой угловой скоростью , то момент импульса твердого тела относительно оси вращения z можно переписать в виде:

,

где I_z - момент инерции тела относительно оси вращения z.

Момент импульса системы тел относительно оси вращения z равен сумме моментов импульса тел, входящих в систему.

Закон сохранения момента импульса: В замкнутой системе тел момент импульса системы не изменяется, т.е. остаётся постоянным

,

где - момент импульса системы тел в начальном состоянии;

- момент импульса системы тел в конечном состоянии.

На практике закон сохранения момента импульса может быть применён и к незамкнутым системам в следующих случаях:

1. Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю: .

2. Если время взаимодействия тел системы пренебрежимо мало или внешние силы много меньше внутренних.

3. Если система замкнута по одному направлению (вдоль выбранной оси Оz), при этом проекции моментов внешних сил на эту ось равны нулю .

Описание установки

В лаборатории имеется два вида установок, несколько отличающихся друг от друга. Остановимся на подробном описании одной из них.

Установка включает в себя: крутильно-баллистический маятник, секундомер, стреляющее устройство, систему для измерения угла отклонения маятника от положения равновесия.

Крутильно-баллистический маятник (рисунок 4) выполнен в виде крестовины, подвешенной к кронштейну 1 на упругих нитях 2, и может вращаться вокруг вертикальной оси z.

В центре крестовины расположен горизонтальный стержень 3 с грузами. Груз 4 служит для уравновешивания круглой мишени 5, жёстко прикреплённой к противоположному концу стержня. Мишень покрыта слоем пластилина для задерживания пули (удар абсолютно неупругий). Подвижные грузы 6имеют одинаковую массу и располагаются симметрично оси вращения z. Изменяя расстояние от этих грузов до оси вращения, можно изменить момент инерции I крестовины. На вертикальном стержне 7 крестовины расположены неподвижные грузы 8, предназначенные для гашения колебаний при попадании пули выше или ниже горизонтальной оси мишени.

Если маятник вывести из положения равновесия, то он начнёт совершать свободные крутильные колебания, период которых можно определить, зная число колебаний N маятника и время t, за которое они произошли:

.

На одной из установок в лаборатории число колебаний маятника определяется простым подсчётом, на другой - имеется специальное устройство, позволяющее одновременно измерять и время, и число колебаний.

Стреляющее устройство представляет собой пружину с затвором. Чтобы произвести выстрел, необходимо:

· максимально оттянуть затвор на себя и закрепить его, повернув на 90^о;

· на металлическую ось пружины поместить пулю, выполненную в виде цилиндра;

· вернуть затвор в вертикальное положение, в результате чего пружина спускового механизма разожмётся, и произойдет выстрел.

Система для измерения угла поворота маятника в двух установках, имеющихся в лаборатории, имеет отличия:

1) В одной из установок для измерения угла поворота маятника при попадании пули в мишень на вертикальном стержне укреплено зеркальце 9 (рисунок 5). Луч света от осветителя 10 попадает на зеркальце и, отражаясь от него, - на шкалу 11. Так как при отражении света угол падения равен углу отражения, то при повороте маятника вместе с зеркальцем на угол φ, световой «зайчик» отклонится на угол 2φ. Тогда

,

где n - отсчёт по шкале; z - расстояние от шкалы до оси вращения маятника.

Поскольку угол отклонения достаточно мал, то:

.

2) В другой установке угол поворота маятника при попадании пули в мишень отсчитывается непосредственно по шкале прибора и определяется в градусах.

Название «баллистический» для маятника означает, что при измерении угла поворота отсчитывается не установившееся отклонение светового «зайчика» (или указателя на шкале прибора), а его первое максимальное отклонение - так называемый «баллистический отброс», после которого подвижная часть маятника постепенно возвращается в исходное нулевое положение.

Метод измерения

Метод измерения скорости пули основан на рассмотрении взаимодействия пули с мишенью, прикреплённой к маятнику.

Для определения скорости пули маятник устанавливают так, чтобы его горизонтальная ось находилась под прямым углом к направлению выстрела, и производят выстрел в мишень маятника, в которой пуля и застревает (абсолютно неупругий удар).

Рассмотрим систему тел «пуля-маятник». Строго говоря, эта система не является замкнутой, поскольку на тела системы действуют внешние силы со стороны других тел (например, сила тяжести со стороны Земли). Однако, если рассмотреть очень быстрое взаимодействие тел (время соударения пули с мишенью маятника много меньше периода его собственных колебаний), при котором внешние силы незначительно изменяют скорости движения тел внутри системы, и не учитывать внешнюю для данной системы силу тяжести (поскольку момент силы тяжести относительно оси z равен нулю), то систему тел «пуля-маятник» можно считать замкнутой и воспользоваться законом сохранения момента импульса относительно неподвижной оси вращения z:

L_z1 = L_z2,

где L_z1 и L_z2 - моменты импульса системы до и после удара соответственно.

Момент импульса системы тел до удара:

L_z1 = L_п1 + L_м1, (1)

где L_п1 = mvr·sin 90^о= mvr (так как выстрел производится под прямым углом)- момент импульса пули; m - масса пули; r - расстояние от места попадания пули до оси вращения; v - скорость пули; L_м1 = 0 (так как маятник покоится) - момент импульса маятника.

Момент импульса системы тел после абсолютно неупругого удара:

L_z2 = I_сист ω_max, (2)

где I_сист = I_п + I_м - момент инерции системы; I_п = mr² - момент инерции пули; I_м - момент инерции маятника; ω_max - угловая скорость маятника с пулей сразу после удара.

Так как момент инерции пули много меньше момента инерции маятника, то им можно пренебречь и выражение (2) записать в виде:

L_z2 = I_м ×w_max .

Следовательно, уравнение (1) примет вид:

mvr = I_м ×w_max,

откуда

. (3)

После удара маятник начинает двигаться; при этом в нитях подвеса возникают упругие силы. Рассмотрим систему «маятник-нити подвеса». Если пренебречь силами трения (они очень малы) внутри системы и не учитывать внешние для данной системы силу тяжести и силу реакции кронштейна (поскольку они уравновешивают друг друга), то систему «маятник-нити подвеса» можно считать замкнутой консервативной системой, в которой выполняется закон сохранения механической энергии:

Е₁ = Е₂, (4)

где Е₁ и Е₂ - механическая энергия системы в начальном и конечном состоянии соответственно.

Механическая энергия системы в начальном состоянии (сразу после попадания пули):

,

Механическая энергия системы в конечном состоянии (при повороте маятника на угол φ_max):

,

где k - коэффициент жёсткости нитей подвеса; φ_max - наибольший угол закручивания нитей подвеса.

Следовательно, уравнение (4) примет вид:

, (5)

то есть происходит превращение кинетической энергии маятника в потенциальную энергию нитей подвеса при деформации кручения.

Выражая из равенства (5) угловую скорость ω_max, получаем:

. (6)

Маятник совершает свободные крутильные колебания за счёт первоначально сообщённой ему энергии, период колебаний которых определяется моментом инерции маятника I_м и коэффициентом жёсткости нитей подвеса k при кручении:

. (7)

Выражая из равенства (7) момент инерции I_м, получаем:

. (8)

Подставляя выражения (6) и (8) в выражение (3), получаем:

.

Таким образом, для нахождения скорости пули необходимо знать коэффициент жёсткости нитей подвеса k и период колебания маятника Т.