Числовые характеристики случайной величины

Случайные величины и их числовые характеристики. Числовые характеристики случайной величины. Распределения непрерывных случайных величин. Закон больших чисел.

Вопросы

1. Случайная дискретная величина .

2.Закон распределения случайно величины.

3. Непрерывная случайная величина.

4. Интегральной функции и ее свойства.

5. Дифференциальная функция и ее свойства.

6.Математическое ожидание для дискретной случайной величины.

7.Вероятностный смысл математического ожидания.

8.Свойства мат. ожидания.

9.Отклонение.

10.Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства.

11.Вероятностный смысл дисперсии.

12.Свойства дисперсии.

13.Закон равномерного распределения.

14.Нормальное распределение. Нормальная кривая.

Дискретные и непрерывные случайные величины

Определения.

1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) значение, причем заранее до опыта неизвестное.

2. Величина, принимающая отдельные изолированные возможные значения, называется

дискретной.

Например:

а) Х – число нестандартных деталей в партии из штук. Х может принимать значения: .

б) Х – число выстрелов до первого попадания в цель .

3. Непрерывной случайной величиной называется величина, возможные значения которой, заполняют сплошь некоторый интервал.

Например. Х – расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия: .

Закон распределения дискретных случайных величин

Для полного определения случайной величины Х, кроме возможных значений Х, необходимо указать связь между возможными значениями и соответствующими вероятностями. Эта связь называется законом распределения Х и для дискретной случайной величины ее можно задать в виде ряда распределения

			…
			…

где .

Можно задать также графически в виде многоугольника распределений.

Распределение непрерывных случайных величин

Закон распределения нельзя строить для непрерывной случайной величины. Поэтому наиболее общей формой закона распределения величины Х является функция распределения (интегральная функция). .

Для дискретной величины Х , а для непрерывной – вероятность того, что случайная точка Х в результате опыта попадает левее точки .

Свойства .

1.

2.

3. - неубывающая функция

4.

В дальнейшем величину Х считаем непрерывной, если - непрерывна.

Более наглядное представление, чем , о характере распределения непрерывной величины Х в окрестностях различных точек дается функцией плотности распределения (дифференциальной функцией) .

Свойства

1.

2.

3.

4.

Пример 1. Построить график и , если

Решение.

Найдем

Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики выражают наиболее существенные особенности данного распределения.

Определение. Математическим ожиданием случайной величины Х называется

а) Х – дискретная величина

б) Х – непрерывная величина

Математическое ожидание можно рассматривать как центр рассеивания величины Х. Если проводится опытов, то приближенно равна среднему арифметическому наблюдаемых значений Х.

Основными характеристиками рассеивания Х около являются и среднее квадратическое отклонение , где :

а) Х – дискретная

Кроме указанных числовых характеристик используются и другие: мода, медиана, моменты и др.

Начальные и центральные теоретические моменты.

Определение. Начальным моментом порядка к случайной величины Х называют маматическое ожидание величины Х^к:

Аналогично для дисперсии

Определение. Центральным моментом порядка к сл.вел. Х называют математическое ожидание и величины :

Легко выводятся связь между и

Пример. Дано