Распределение непрерывных случайных величин

1. Закон равномерного распределения вероятностей.

Определение. Распределение называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция .

Найдем дифференциальную функцию нормального распределения, считая, что , где . Поэтому при . По свойству дифференциальной функции или или . Следовательно, .

2. Нормальное распределение.

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией .

Здесь 2 параметра и . Их смысл: - математическое ожидание, -средне квадратическое отклонение нормального распределения.

а)

.

б) = /дважды по частям/ = средне квадратическое отклонение.

Замечание 1. Если , то нормальное распределение называется нормированным. Дифференциальная функция его , а интегральная функция .

2. Известен интеграл Лапласа , тогда для нормального распределения.

3. Учитывая свойство , получим , т.е. .

3. Нормальная кривая.

Определение. График функции нормального распределения называется нормальной кривой .

Исследуем функцию.

1) область определения: ;

2) при всех ;

3) , ось ОХ – горизонтальна ассиметрии;

4) исследуем на экстремум при ,

при возрастает, убывает, т.е. точка максимальная, .

5) так как , то график функции симметричен относительно .

6) точка перегиба

и - точка перегиба.

Форма нормальной кривой зависит от и .

Известно, что кривые и имеют одинаковую форму и 2-я из них получена из 1-й путем сдвига вправо на единиц. Следовательно, если изменится , то форма нормальной кривой не изменится, а лишь сдвигается вдоль оси ОХ: , если возрастает и , если убывает. Пусть теперь меняется .

С возрастанием максимальная ордината нормальная кривая убывает, а сама кривая становится пологой, при убывании нормальная кривая становится «островершиной».

При и нормированная кривая.

4. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Известна формула , для нормального распределения имеем ,

преобразуем эту формулу так, чтобы пользоваться готовыми таблицами ,

.

Из этой формулы вытекает вероятность заданного отклонения

.

Закон больших чисел

Как известно, нельзя заранее уверенно предвидеть какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания. Но оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях , суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным, т.е. можно предвидеть ход явления. Эти условия и указываются в теоремах, носящие общее название закона больших чисел.

Теорема Чебышева. При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера.

Ответ на то, при каких условиях это правомерно, дает теорема Чебышева:

Рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины .

К этим величинам можно применить Теорему Чебышева, если:

1. Они попарно независимы - ( результат каждого измерения не зависит от результатов остальных).

2. Имеют одно и тоже МО – (измерения проведены без систематических (одного знака) ошибок). В этом случае МО всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру .

3. Дисперсии их равномерно ограничены (прибор обеспечивает определенную точность измерений (рассеивание ограничено)).

З а м е ч а н и е. Ошибочно думать, что увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Это ограничивается тем, что сам прибор дает показания с точностью .

На Теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод,, суть которого в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон наудачу отобранных из различных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое число волокон.

Или определение качества зерна по небольшой его пробе. Число наудачу отобранных зерен мало по сравнению со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно важно.

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в постоянных условиях частота рассматриваемого события сходится по вероятности к его вероятности в отдельном опыте, т.е.

.

Литература

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности. М.: Высшая школа, 1969г.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998г.

3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1982г.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей (задачи и упражнения).

М.:Высшая школа, 1973г.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистики. М.: Высшая школа, 1998г.

7.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей

математики (типовые расчета). М.: Высшая школа, 1983 г.