Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексное число в алгебраической формеимеет вид

, (1)

где a и b – действительные числа, а i - некоторый символ, называемый мнимой единицей и i² = -1 , т.е. . В формуле (1) называется действительной частью, а - мнимой частью комплексного числа и обозначается , . Т.е., каждое комплексное число однозначно определяется парой чисел (а ; b), его действительной и мнимой частью. С другой стороны нам известно, что при введении декартовой системы координат на плоскости положение любой её точки также однозначно определяются парой чисел , которые называются координатами точки. Установив это взаимооднозначное соответствие, можно изображать комплексные числа на плоскости, которую назвали комплексной плоскостью . В ней вместо оси – ось , а вместо оси - ось . Любое комплексное число на такой плоскости изображается точкой с координатами или радиус-вектором с теми же координатами.

Из рисунка можно ввести новые понятия для комплексного числа . Это его модуль и аргумент .

Из прямоугольного треугольника имеем:

и (2)

Отметим, что аргумент можно найти и другим способом: сначала определить , а затем, используя алгебраическую форму записи, установить, в какой четверти находится данное комплексное число.

Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа

Решение: так как , то ; далее, . Отсюда имеем .

Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа

Решение: имеем так как , , то угол принадлежит III четверти. Значит, .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Выразим из (2) a и b:

Из формул (2) выразим а и b:

(3)

Подставив (3) в (1), можно перейти от алгебраической формы комплексного числа к новой записи комплексного числа

. Следовательно,

(4)

Формула (4) называется тригонометрической формой комплексного числа.Заметим, что комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны
тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число,
кратное 2л.

Пример.Найти тригонометрическую форму числа .

Решение: имеем . Находим , и так как находится в первом квадранте, то берем . Итак,

Пример.Найти тригонометрическую форму числа .

Решение: имеем . Находим :

следовательно, . Итак, .

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Пусть даны два числа в тригонометрической форме:

,

Тогда их произведение можно найти по формуле:

(5)

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Формула (5) имеет место для любого конечного числа сомножителей: если , то

(6)

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме производится по формуле

, (7)

т.е модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного – разности аргументов. Применяя формулу (7) к частному случаю , найдём тригонометрическую форму обратного числа :

(8)

Пример.Умножить числа: , .

Решение: .

Пример. Даны комплексные числа ,

Найти частное .

Решение:

Пример. Найти число, обратное к .

Решение: Согласно формуле (8) получим .