Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме

Если , то формула (6) принимает вид

(9)

Формула (9) называется формулой Муавра. Она показывает, что для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени. Если , то формула (9) принимает вид

(10)

Пример. Вычислить .

Решение:чтобы воспользоваться формулой Муавра, найдём тригонометрическую форму числа . Имеем . Тогда

Извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме

Корнем n-ой степени, из числа z такое комплексное число u, для которого Операция нахождения корней n-ой степени из комплексного числа z называется извлечением корня n-ой степенииз числа z и результат её обозначается .

Пусть . Тогда корни n-ой степени из числа z будем вычислять по следующей формуле:

, (11)

где , и все эти значения различны.

Пример. Вычислить .

Решение: имеем:

. Тогда . Отсюда по формуле (11) получим:

,

где к = 0,1,2,3,4,5. Тогда получаем

, ,

, ,

, .

Геометрическая интерпретация корней дана на рисунке, откуда видно, что числа изображаются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом с центром в начале координат.

Пример.Найти .

Решение:

Полагая получим:

, , , .

Пример.Найти .

Решение:

Полагая, получим: , ; .

Показательная форма комплексных чисел

Рассматривая комплексные числа вида , зависящие от действительной переменной и комплекснозначные функции вида ( Л. Эйлер заметил, что относительно операций умножения и дифференцирования эти выражения имеют одни и те же свойства, т.е. они представляют модели одной и той же логической структуры:

Таким образом, выражения и имеют одну и ту же логическую сущность, в связи с этим Эйлер предложил формулу

= , (12)

которая теперь известна как формула Эйлера.

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме . Применяя формулу Эйлера, получим

, (13)

которая называется показательной формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами в показательной форме

Пусть даны два комплексных числа в показательной форме

,

Тогда их произведение и частное могут быть найдены по формулам:

(14)

(15)

Пусть ; тогда операции возведения в степень и извлечения корня выполняются по формулам:

(16)

, (17)

где .

Пример. Найти показательную форму чисел: 1) ; 2)

Решение:

1) Находим , , следовательно, .

2) Находим , , следовательно,

Пример. Найти алгебраическую форму чисел:

1) ; 2) ; 3) .

Решение:

1) Имеем .

2) Имеем .

3) Имеем .

Пример. Найти произведение и частное комплексных чисел и написать результаты в алгебраической форме: а) ;

Решение:

а) ;

;

Пример. Вычислить , для , и представить результаты в алгебраической форме

Решение:

Задание

Вариант 1

1. Дано

найти . Результат записать в тригонометрической и алгебраической форме;

2. Дано . Привести число в тригонометрическую форму и вычислить ;

3. Дано число в тригонометрической форме . Вычислить .

4. Привести в показательную форму число и вычислить ;

5. Найти если ;

6. Извлечь корень . Результат указать в показательной и алгебраической форме;

7. Вычислить:

Вариант 2

1. Дано

найти . Результат записать в тригонометрической и алгебраической форме;

2. Дано . Привести число в тригонометрическую форму и вычислить ;

3. Дано число в тригонометрической форме . Вычислить .

4. Привести в показательную форму число и вычислить ;

5. Найти если ;

6. Извлечь корень . Результат указать в показательной и алгебраической форме;

7. Вычислить:

Вариант 3

1. Дано

найти . Результат записать в тригонометрической и алгебраической форме;

2. Дано . Привести число в тригонометрическую форму и вычислить ;

3. Дано число в тригонометрической форме . Вычислить

4. Привести в показательную форму число и вычислить ;

5. Найти если ;

6. Извлечь корень . Результат указать в показательной и алгебраической форме;

7. Вычислить:

Вариант 4

1. Дано

найти . Результат записать в тригонометрической и алгебраической форме;

2. Дано . Привести число в тригонометрическую форму и вычислить ;

3. Дано число в тригонометрической форме . Вычислить .

4. Привести в показательную форму число и вычислить ;

5. Найти если ;

6. Извлечь корень . Результат указать в показательной и алгебраической форме;

7. Вычислить:

4. Контрольные вопросы:

1. Назовите тригонометрическую форму комплексного числа;

2. Какие операции над комплексными числами в тригонометрической форме вы знаете?

3. Назовите формулу Муавра; формулу Эйлера;

4. Назовите показательную форму комплексного числа;

5. Какие операции над комплексными числами в показательной форме вы знаете?

5. Содержание отчёта:

5.1 Наименование работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

6. Литература:

1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах: Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, 1 кн., с. 397-418;

2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М. Высшая школа, 2003, с.68-78;

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов – М.: Юнити, 2003 г, с.440-444;

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних спец. учеб. заведений – М.:Высшая школа, 2003, с. 235-242.