КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ

Самородная медь, Сu Сингония кубическая, представ­лена гранецентрированным кубом с плотнейшей упаковкой атомов. Атомы меди расположены по уг­лам куба и в центре каждой гра­ни элементарной ячейки образующими правильный тетраэдр [SiO₄]⁴~. Каждый атом кислорода в решетке силикатов одновременно при­надлежит двум разным тетраэдрам. Благодаря этому возникают сдвоенные тетраэдры, кольцеобразные замк­нутые группы тетраэдров (например, у берилла — двой­ные кольца), а при дальнейшей группировке атомов— цепи, двойные цепи (например, у пироксенов и амфи­болов), двумерные бесконечные слои и трехмерные бес­конечные каркасы (например, у полевых шпатов и лей­цита).

Галит (каменная соль), NaCl Сингония кубическая, кристалли­ческая структура представлена ионной решеткой. Ионы натрия (Na+, черные шарики) и ионы хлора (Сl-, белые шарики) попе­ременно располагаются в углах малых кубов

Спайный выколок галита в форме куба, замкнутая спайная форма

Флюорит (плавиковый шпат), CaF₂

Сингония кубическая. Ионы каль­ция (Са²⁺) расположены по зако­ну гранецентрированного куба. Ионы фтора (F^-) занимают цент­ры всех малых кубов

Спайный выколок флюорита в форме октаэдра, замкнутая спай­ная форма

Молибденит (молибденовый блеск), MoS₂

Сингония гексагональная, кристал­лическая структура слоистая. Ионы молибдена (Мо²⁺) и ионы серы (S^-) образуют плоские сет­ки. Характер кристаллической ре­шетки обусловливает совершенную спайность, параллельную базальной плоскости

Кальцит (известковый шпат), СаСОз

Кристаллическая решетка тригональная. Кристаллическая струк­тура в элементарной ячейке спай­ного ромбоэдра состоит из ионов кальция (Са²⁺) и карбонат-ионов [СОз]^2-. Оба типа ионов распо­лагаются как бы в гранецентрированных решетках

Спайный выколок кальцита, зам­кнутая спайная форма (ромбо­эдр). Примеры: кальцит, доломит, магнезит, сидерит и др.

Открытая спайная форма, листо­ватость, свойственная слюдистым минералам. Примеры: мусковит, биотит, хлорит

Примеры структур силикатных минералов (анионные комплексы) На рис. (а) и (б) изображены изолированные группы кремнекислородных тетраэдров, представ-лекные двумя различными видами (а) Отдельный изолированный тетраэдр [SiO₄]^4-(6) Группа из двух тетраэдров, связанных между собой об­щим углом, с формулой [Si₂0₇]⁶-

(в) Группа из трех тетраэдров, соединенных в кольцо, с формулой [Si₃О₉]^6-

(г) Группа из четырех тетраэд­ров, соединенных в кольцо, с формулой [Si₄O₁₂]^8-

(д) Группа из шести тетраэд­ров, соединенных в кольцо, с формулой [Si₆O₁₈]^12-

Многие соединения встречаются в различных струк­турных типах, так что разные минеральные виды обна­руживают в этом случае одинаковый состав. Такое яв­ление называется полиморфизмом, а химически иден­тичные минералы, различающиеся структурой кристал­лической решетки, — полиморфными модификациями, например пирит и марказит (оба имеют состав FeS₂).

Рамки данного карманного справочника позволяют привести лишь ограниченные (но важные!) сведения о многообразии кристаллических форм и о специальных, базирующихся на математической теории принципах классификации кристаллов. Более подробные данные по этому вопросу читатель найдет в разделе «Кристалло­графические свойства минералов», написанном д-ром В. Шмицем.

Для графических построений и в классификационных целях минералоги и кристаллографы используют кри­сталлографические оси и осевые системы. В зависимо­сти от длины отрезков, отсекаемых на кристаллографи­ческих осях, и взаимного расположения этих осей раз­личают семь осевых систем (см. приложение 1А) [В отечественной литературе употребляется термин сингония», который мы и будем использовать в дальнейшем. — Прим. перев.].

Триклинная сингония. Три оси разной длины пересе­каются под косыми углами; например известково-нат-риевые полевые шпаты (плагиоклазы).

Моноклинная сингония. Две оси разной длины пере­секаются под косым углом, третья ось составляет с ними прямой угол, например ортоклаз, авгит, слюда и гипс.

Ромбическая сингония. Три оси разной длины пере­секаются под прямыми углами; например оливин, энста-тит, топаз, ангидрит, барит и сера.

Тетрагональная сингония. Два отрезка оси одинако­вой длины пересекаются под прямым углом, третья ось перпендикулярна им, и отсекаемый на ней отрезок имеет иную длину, например рутил, циркон, касситерит и халь­копирит.

Тригональная сингония. Три отрезка осей равной длины пересекаются в одной плоскости под углом 60°, третья ось перпендикулярна этой плоскости, и отсекае­мый на ней отрезок имеет иную длину, например каль­цит.

Гексагональная сингония. Положение осей аналогич­но их положению в тригональной сингонии, например кварц (высокотемпературный), берилл, апатит, снег и

лед.

Кубическая сингония. Три равновеликие оси пересе­каются под прямым углом, например каменная соль, алмаз, магнетит, пирит, хромит, галенит, золото и гра­нат.

Для определения сингонии кристалла важным при­знаком является форма выделения минерала. Изомет-ричные, порой округленные зерна минерала, вкраплен­ные в агрегат других минералов, позволяют предполо­жить для него кубическую сингонию. Так выглядит, на­пример, гранат в слюдистом сланце или лейцит в фоно-литах, трахитах или базальтах. У большинства кристал­лов гексагональной, тригональной, тетрагональной, ром­бической, моноклинной или триклинной сингонии преоб­ладает призматический габитус. Грани, ориентирован­ные параллельно оси с, обычно называют призматиче­скими. Хорошо образованные призматические грани ха­рактерны, например, для монокристаллов кварца, берил­ла, топаза, турмалина, кальцита, арагонита, дистена, ставролита и др. Другие формы этих сингонии могут иметь таблитчатый или пластинчатый габитус, парал­лельный оси с.

У хорошо образованных некубических кристаллов важны базальные и пирамидальные грани, определяю­щие различия их облика. Для высокотемпературного кварца характерна гексагональная бипирамида, для апатита характерны притупления базисной грани. Для моноклинного ортоклаза характерны резко выраженные грани диэдра, расположенные параллельно оси а. К этим главным граням часто присоединяются специфичные для разных сингоний второстепенные грани, усложняющие форму кристалла. Так, у кристаллов тригонального кварца наряду с гранями тригональной призмы присут­ствуют грани трапецоэдра, у гексагонального апатита и берилла — многочисленные второстепенные грани и т. д. Все эти кристаллографические признаки минералов имеют особое значение. Они часто позволяют устано­вить, при каких физико-химических условиях образо­вался тот или иной минерал. Вместе с тем появление определенных граней может быть характерно для мине­рала из конкретного месторождения и может указывать на определенный минеральный парагенезис.

Эти наблюдающиеся на кристаллах минералов ком­бинации граней создают его характерную естественную огранку, а общая конфигурация определяет его габитус. Так, например, апатиты, образовавшиеся в диапазоне температур 550—300 °С, кристаллизуются в виде корот-копризматических кристаллов, а апатиты в гранитах, образующиеся при температурах выше 700 °С, имеют тонкоигольчатый габитус. Аналогичная картина наблю­дается и в случае калиевых полевых шпатов: полевые шпаты, являющиеся составной частью магматических пород, образуются при температурах выше 700°С (сани­дин, ортоклаз), пегматитовые калиевые полевые шпа­ты— примерно при 600—550°С (ортоклаз), а гидротер­мальные, такие, как адуляр, кристаллизуются в интер­вале температур 300—100 °С; соответственно различен и облик этих полевых шпатов, возникших в различной гео­логической обстановке.

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ

СВОЙСТВА

МИНЕРАЛОВ

Важным диагностическим признаком минералов яв­ляется внешний облик их выделений (морфология). За­кономерности кристалломорфологии составляют предмет кристаллографии [Точнее, специального раздела кристаллографии и минерало­гии — онтогении минералов. — Прим. перев.], которая, отделившись от минералогии в XIX в., развивалась в дальнейшем как самостоятель­ная наука.

Каковы же различия между кристаллом и минера­лом? Можно сказать, что, за редкими исключениями, минералы являются кристаллическими веществами. В качестве минералов выступают лишь вещества, устой­чивые при нормальных условиях. Неустойчивые соедине­ния через какой-то промежуток времени переходят в бо­лее стабильные. Таким образом, число минералов огра­ничено. Гораздо большее число кристаллов может быть получено искусственным путем и сохранено в условиях изоляции. Очевидно, что законы кристаллографии рас­пространяются и на мир минералов.

Что же характеризует кристалл или кристаллическое состояние вообще? Во-первых, кристаллическое вещест­во должно иметь однородный химический состав, т. е. быть гомогенным. Вторым его важным свойством является анизотропия, под которой понимается разли­чие физических свойств вдоль разных направлений в кристалле. У некоторых кристаллов различаются даже направления и противонаправления, как, например, у турмалина, концевые грани которого могут в одном на­правлении постоянно нести положительные электриче­ские заряды, а в обратном — отрицательные [Возникающие при трении или нагревании. — Прим. перев.]. Анизотропия кристаллов обусловлена их атомным строением. В различных направлениях расстояния между атомами различны.

Рис. 4. Упорядоченное атомное строение кристалла обусловливает различное расстояние между атомами в разных направлениях.

Все доступные для измерения свойства кристаллов, такие, как характер прохождения света, теплопровод­ность, электропроводность и др., определяются анизо­тропией.

Свободно висящей капле жидкости свойственна фор­ма шара. Свободно выросший кристалл никогда не будет иметь такой формы. Он отграничен от своего окру­жения гранями, углами и ребрами. У многих кристаллов наблюдаются разные размеры в трех различных направ­лениях. Полиэдрический (многогранный) облик кристал­лов, выросших из расплавов, растворов или паров, где отсутствуют пространственные ограничения, также яв­ляется следствием анизотропии. Газы, жидкости или стекла не имеют кристаллического строения: они обла­дают одинаковыми свойствами во всех направлениях. Их называют изотропными веществами. А вот столь ценный «хрусталь» (свинцовое стекло), будучи стеклом, носит свое название не по праву [Слово «хрусталь» представляет собой искаженное слово «крис­талл»; по-немецки оба слова звучат одинаково. — Прим. перса.]!

Однако часто по внешнему облику кристаллов нель­зя предположить, что их свойства различны в разных направлениях. Нередко кристаллы выглядят так, будто они состоят из зеркально-равных частей. При повороте кристаллов большинства минералов на определенный угол многократно наблюдается один и тот же облик кристаллов. Действительно, кристаллы обладают свой­ствами, ограничивающими их анизотропию. Существу­ют направления, вдоль которых проявляются одинаковые свойства. Такие кристаллы называются симметрич­ными. Под симметрией в общем смысле понимается за­кономерное повторение какого-либо одного мотива. Это определение нарочито дано в такой общей форме, поскольку под термином «мотив» следует понимать все свойства и их взаимодействия в кристалле. Сюда отно­сятся в обязательном порядке положение граней, углов и ребер у кристаллического многогранника, а также физические и химические свойства кристалла.

Различают элементы симметрии нульмерные, одно­мерные и двумерные. Сочетание элементов симметрии лежит в основе принципа классификации кристаллов, выделения кристаллографических классов (видов) и кристаллографических сингоний.

Нульмерным элементом симметрии является центр симметрии (символ Z, или 1); (читается: единица с ми­нусом). Он обусловливает наличие у каждой грани кри­сталла параллельной ей противоположной грани, полу­чаемой при помощи зеркального отражения этой грани в точке (операция называется инверсией).

Одномерные элементы симметрии — это повторные оси (оси симметрии), которые приводят кристалл к совмещениям с самим собой путем вращения на опре­деленный угол. Они носят обозначения 1, 2, 3, 4 и 6. Их углы вращения вычисляются путем деления 360° на 1, 2 и т. д. Так получаются углы 360, 180, 120, 90 и 60°. Трой­ная ось симметрии обусловливает, например, тот факт, что кристалл кварца, повернутый на 120°, снова демон­стрирует тот же облик.

Двумерным элементом симметрии является плоскость зеркального отражения, или плоскость симметрии (сим­вол т), разделяющая кристалл на зеркально-равные ча­сти. Способы действия элементов симметрии и их рас­пределение по отдельным кристаллографическим клас­сам показаны в табл. 2.

Показательно, что у многих минералов проявляется несколько аналогичных или разнородных элементов симметрии. Строгий вывод, который здесь опущен, до­казывает, что всего существует 32 класса симметрии, отличающихся либо отдельными элементами симмет­рии, либо их допустимыми закономерными сочетаниями. Каждый минерал и каждый кристалл относятся лишь к одному из 32 классов симметрии.

Таблица 2

Рис. 5.

Нижеследующее сопоставление иллюстрирует три ныне еще упот­ребительные системы обозначений (символов) классов симметрии.

Пример: С_4h — 4/m — тетраго-нально-бипирамидальный. C_4h — это символ по Шенфлису, 4/m — по Герману — Могену. Последнее обо­значение исходит из обобщенной кристаллографической формы и ве­дет свое начало от Грота. Система обозначений по Герману — Могену (интернациональная символика) получает все более широкое распростра­нение. 32 класса симметрии распределяются по шести кри­сталлографическим сингониям, которые вследствие сво­ей малочисленности и более легкой распознаваемости являются, конечно, более наглядными. А сами сингонии выводятся из общих законов симметрии.

Что понимают под сингонией? Она выводится из мыс­ленно помещенной внутри кристалла системы коорди­натных кристаллографических осей, причем соотношение длин отрезков по осям и величина углов между ними строго определенные для каждой сингонии. Установка системы кристаллографических осей всегда производит­ся таким образом, что к наблюдателю обращена ось а, направо располагается ось b, а вверх направлена ось с. Между осями а и bзаключен угол у, между осями а и с — угол |3, а между осями b и с — угол а (рис. 5).

Каждая сингония охватывает несколько классов сим­метрии (см. сопоставление в табл. 2). Сравнительный обзор показывает, что каждый класс легко подчинить соответствующей сингонии, поскольку каждая сингония характеризуется определенным набором элементов сим­метрии. В триклинной сингонии может присутствовать в качестве элемента симметрии только 1 — ось идентич­ности (вращение на 360°) или 1 как нульмерный эле­мент симметрии. В моноклинной сингонии существует три класса симметрии, характеризующиеся наличием двойной оси симметрии, плоскости симметрии или ком­бинацией обоих элементов. При сочетании трех двойных осей или плоскостей симметрии возникает ромбическая сингония. Четверная ось симметрии характеризует тетрагональную, шестерная — гексагональную и тройная — тригональную сингонию. Последняя рассматривается как подсистема гексагональной. Кубическая сингония определяется присутствием тройных осей симметрии, ко­торые, однако, в отличие от тригональной сингонии во всех классах кубической сингонии в обозначениях ста­вятся на второе место.

Примеры: 432 — кубическая, 422 — тетрагональная, или 23 — кубическая, 32 — тригональная.

Следует, однако, показать яснее, что кристаллогра­фические сингонии определяются непосредственно сим­метрией кристаллов. Наличие тетрагональной оси сим­метрии предопределяет условие а=b, угол между этими осями равен 90°. Ведь если вращение на 90° должно привести к идентичной картине, необходимо, чтобы от­резки по обеим осям были одинаковы. Аналогичные соотношения имеют место в гексагональной сингонии. В кубической сингонии соответственно три двойные или четверные оси симметрии связаны с четырьмя тройными осями, располагающимися вдоль пространственных ди­агоналей куба; обе системы осей пересекаются под ха­рактеристическим углом 54°44'.

Следует поставить важный вопрос, обсуждение кото­рого еще более прояснит соотношения между сингонией, классом симметрии и элементом симметрии. Располо­жены ли элементы симметрии в кристалле произвольно или и здесь выявляются закономерные соответствия? Оказывается, что элементы симметрии тесно связаны с кристаллографическими осями. Для отдельных сингонии установлены следующие главные направления (парал­лельные лучу зрения):

Главными направлениями в кристалле называются направления, в которых располагаются элементы симметрии. Отсюда следует, что элементы симметрии могут находиться только в строго определенных направлениях.

В триклинной сингонии главное направление не уста­новлено, поскольку придавать направление оси идентич­ности 1 или 1, т. е. точке, было бы бессмысленно. В мо­ноклинной сингонии достаточно одного направления и для класса 2/m, поскольку эта комбинация оси и пло­скости располагается в кристалле таким образом, что нормаль (перпендикуляр) к двойной оси ориентирована параллельно плоскости симметрии. Для других сингонии необходимо указывать три главных направления, хотя в кристаллах этих сингонии может присутствовать боль­шое количество направлений, но два или даже три из них являются равноценными (например, в тетрагональ­ной сингонии а=b или в кубической а = b = с), так что указание одного из таких направлений включает в себя и остальные, ему адекватные.

Поскольку каждый класс симметрии подчиняется ка­кой-либо одной сингонии, с помощью главных направле­ний определяется положение элементов симметрии в пространстве. Само собой разумеется, что существует и обратная связь, в соответствии с которой кристаллогра­фическим осям отвечают определенные элементы сим­метрии. Примеры:

|| —параллельно

_|_—перпендикулярно

Пример класса 6 показывает, что не в каждом клас­се симметрии все главные направления соответствую­щей сиигонии сопровождаются элементами симметрии.

Внешнюю огранку кристаллов составляют грани, ребра и углы, которые связаны между собой соотноше­нием Эйлера: число граней+число углов=число ре­бер +2.

Подобно элементам симметрии следует привести так­же грани и ребра кристаллов в соответствие с кристал­лографическими осями и тем самым с элементами сим­метрии.

Легко представить, что каждая грань, рассматривае­мая в пространстве, заключенном в систему координат­ных осей, должна отсекать, пересекать одну, две или три оси. Различают ряд положений граней, представ­ленных на рис. 6.

Ребра кристаллов также обозначаются тройным ин­дексом: ось а и все параллельные ей ребра имеют ин­декс [100], ось b— [010] и ось с— [001].

Общий символ грани, пересекающей все три оси,— (hkl), ребра— [uvw]. Обратите внимание на различную форму скобок!

Необходимо упомянуть еще одну особенность. Если грань отсекает на оси а одну часть, на оси b — две части и располагается параллельно оси с, то ее индекс будет не (120), а (210). Для индицирования граней, согласно Миллеру, применяются обратные значения для длин от­резков по осям. Грань отсекает отрезки a, b и с в отношении 1 : 2 : оо. Обратные значения составляют 1/1 : 1/2:1/оо, а приве­денные к целым числам— (210).

Рис. 6. Рис. 7.

Для индицирования ребер, нао­борот, используется прямое отноше­ние отрезков. Благодаря примене­нию обратных и прямых отрезков достигается одинаковое написание индексов для некоторых граней и нормалей к ним (рис. 7).

Для грани в общем положении принимается индекс (hkl), а для соответствующих ре­бер— [uvw]. Какие числа скрываются за этими буквен­ными обозначениями? Это малые числа (целые), часто 1 и 0, реже 2. Числа больше 2 почти не появляются в обозначениях индексов праней и ребер. Тот факт, что длины отрезков, отсекаемых гранями или ребрами на трех основных осях [Отрезки, отсекаемые гранью по кристаллографическим осям, в отечественной литературе принято называть параметрами этой гра­ни.— Прим. перев.], относятся между собой как малые целые рациональные числа, носит название в кристалло­графии закона рациональности отношений параметров. Необходимо подчеркнуть, что абсолютные значения величин, между которыми определяют отношения, не во всех случаях одинаковы. Для ромбической сингонии а=/=b=/=с. Это означает для грани (111) ромбического кристалла различные абсолютные значения отрезка, отсекаемого по каждой оси, но равное количество этих отрезков по а, Ь и с. Так что получается отношение 1а:1b:1с. По равенству или неравенству величин или длин отрезков по a, b и с определяют кристаллографи­ческие сингонии.

Прямое отношение а : b : с, упрощенно а : 1 : с, обозна­чается как геометрическое осевое отношение. В кубиче­ской сингонии оно составляет, естественно, 1 : 1 : 1, в тет­рагональной и гексагональной 1 : 1 : с, а начиная с ром­бической и в сингониях с более низкой симметрией — а: 1 : с. Осевое отношение является константой вещест­ва. Если мы знаем это отношение и установили, что оно равно таковому известного минерала, тогда с полной уверенностью можно говорить об идентичности обои : минералов.

Рис. 8.

В заключение следует познакомить любителей мине­ралов с методом, который позволяет во многих случаях более точно диагностировать минералы, но о котором, однако, в большинстве определителей минералов не упо­минается. В описаниях минералов в данной книге наря­ду с сингонией приведены также класс симметрии и гео­метрическое осевое отношение, что облегчает возмож­ность сравнения. Если минералы встречаются в иска­женных формах, то сингония и тем более класс сим­метрии определяются лишь с трудом. Но искажение не затрагивает углов между кристаллографическими гра­нями. Углы между одинаковыми гранями кристалл-всегда одинаковы. Установлением этого закона постоян­ства углов Стеной в 1669 г. заложил основы кристалле графин. Углы между кристаллографическими гранями измеряются гониометром. Следует различать гранные углы и углы между нормалями к граням. Первые допол­няют вторые до 180°. С помощью простого прикладного гониометра, который легко изготовить из транспортира и полоски картона, при аккуратной работе могут быть измерены углы с точностью до ±1°. Соответствующие грани минерала крепко зажимают между транспортиром и картонной линейкой (рис. 8) и считывают значение угла между нормалями и гранями. Необходимо учиты­вать, что последующие вычисления действительны толь­ко для углов между нормалями к граням.

Рис. 9.

Что вообще подлежит вычислению? Не что иное, как геометрический индекс минерала — его осевое отноше­ние а: 1 : с. Согласно закону рациональности отношений параметров, у кристалла следует ожидать наличия гра­ней с малыми индексами. Углы между нормалями к граням (110) и (100) и (011) и (001) дают возможность очень просто вычислить осевое отношение. Поскольку отношение а: b : с может быть выражено как а : 1 : с, его можно записать также в виде а/b и с/b, тем самым придав вычислению большую наглядность. В ромбиче­ском кристалле, например в топазе, измерению подле­жат следующие углы. Принимая во внимание только кристаллографические оси и линию их пересечения со следом граней (НО) и (011), мы получаем треугольни­ки с углами ф и р (рис. 9). Отношение а/b задается тангенсом ф, а отношение с/b — тангенсом р (рис. 10).

Рис. 10.

Требуется, следовательно, измерить прикладным го­ниометром только углы между нормалями к соответст­вующим граням и взять из таблиц логарифмов значения тангенсов этих углов. В результате получаем геометри­ческое осевое отношение, которое после установления углов переписывается следующим образом:

a: l:c=tgф₍₁₁₀₎: I :tgp₍₀₁i).

У ромбического топаза были измерены угол между нормалями к (ПО) и (100), равный ф₁₁₀ = 27,9°, и угол между нормалями к (011) и (001), равный poii = 43,7⁰. Из этих данных через tg27,9°: I :tg43,7° получаем гео­метрические осевые отношения 0,529 : 1 : 0,955,

Если на кристалле отсутствуют грани (100) или (001), то углы ф и р можно получить также делением пополам углов между двумя гранями (ПО) и (011) (рис. 11).

В основе вычислений лежит предположение, что кри­сталл имеет грани, пересекающие две оси а и b или с и b, поскольку ось b принята за единицу. Углы между нормалями к граням (100), (010) и (001) не дают осе­вого отношения. Они указывают на сингонию и состав­ляют 90° в ромбической, тетрагональной и кубической сингониях, 60° в одной плоскости гексагональной синго-нии. В триклинной сингонии во всех плоскостях и в мо­ноклинной в одной плоскости эти углы между нормаля­ми отличаются от 90 и 60° и являются характеристиче­скими для каждого минерала. Они связаны с углами между осями. Вычислять их здесь не представляется возможным. Точно так же расчет осевого отношения из углов между нормалями к граням (111) или произволь­ными гранями (hkl] приходится оставить на долю учеб­ников кристаллографии.

Рис. 11.

Иногда на кристаллах грани (НО) и (011) отсутству­ют, но появляются грани (120) или (210) либо (012) или (021), которые в ряде случаев встречаются и наря­ду с гранями (110) и (011), так что выбор граней для измерения затрудняется и правильность индицирования может быть установлена только расчетным путем. Согласно закону рациональности отношений парамет­ров, осевое отношение, вычисленное по данным ложного индицирования, должно допускать преобразование в правильное путем умножения или деления на малые це­лые числа. Поэтому мы записываем в более общей форме:

Для случая вычисления отношения, исходя из граней (210) и (021) и соответствующих им углов между нор­малями, это означает

У топаза были измерены угол между нормалями к (100) и (210), равный ф₂₁₀= 14,8°, и угол между норма­лями к (001) и (021), равный p₀₂₁=62,3°. Из этих данных через tg 14,8° : 1 : tg 62,3° получаем геометрические осе­вые отношения 0,264 : 1 : 1,905.

Легко увидеть, что, удвоив значение а и взяв полови­ну значения с, мы получим искомое осевое отношение.

Поскольку на гранях кристаллов, конечно, не напи­саны их индексы, правильное индицирование не всегда будет легко удаваться любителям, а в некоторых случа-лх, вероятно, вообще окажется невозможным. Поэтому, если полученное осевое отношение легко сопоставляется с приведенным в данном определителе путем умножения или деления на малые целый числа, вы можете быть верейными в правильности определений. Если на об-ломках кристаллов можно измерить лишь немногие углы и нельзя определить осевое отношение полностью, то же знание только a/b или с/b дает ценные диагности­ческие указания.

Вывод вычислительных формул базируется на ис­пользовании прямоугольных треугольников, поэтому он действителен, строго говоря, лишь для прямоугольных сингоний. С некоторыми ограничениями по точности область применения формул может быть расширена. Хороший прикладной гониометр работает с точностью ± 1°. Вычисление осевого отношения, полученного с помощью этого измерительного прибора, с точностью большей, нежели до одного знака после запятой, имеет мало смысла. В пределах такой точности по приведен­ным формулам можно вычислять осевые отношения и большинства триклинных или моноклинных минералов. Большие неточности возникают в тех случаях, когда углы между осями резко отклоняются от 90°. Для тетра­гональных минералов а — b, поэтому а : 1 : с=1 : 1 : с, и формула упрощается до c/a=tgp₀₁₁ = tgp₁₀₁. Вычисление применительно к гексагональной сингоний в рамках этой книги не может быть приведено. В подобных слу­чаях следует ограничиться измерением характеристиче­ских углов 60° как отправной точки для выбора синго­ний.

Осевое отношение всех кубических кристаллов по­стоянно и равно 1:1:1. В этой сингоний полезно знать некоторые характеристические углы, располагающиеся в трех плоскостях, которые не могут встретиться в такой форме в других сингониях. Наряду с углами 90 и 45° появляются углы 60° между гранями ромбододекаэдра, 55° между гранями куба и октаэдра, 35° между гранями октаэдра и ромбододекаэдра, а также 110 или 70° меж­ду гранями октаэдра. Если в двух или даже трех вза­имно перпендикулярных направлениях измерены такие углы, то кристалл однозначно является кубическим. Это, конечно, относится только к специфическим для куби­ческой сингоний углам, т. е. не к углам 90, 45 и 60°, ко­торые могут встретиться и в других кристаллографиче­ских системах.

Современный кристаллограф, вооруженный чувстви­тельными измерительными приборами и методикой пре­цизионных вычислений, способен однозначно и очень точно определить каждый кристалл и любой минерал. Цель настоящего раздела — дать первоначальное пред­ставление о проблемах, возникающих перед исследова­телями кристаллов.

ДВОЙНИКИ

В мире минералов широко распространены двойники и сростки (табл. 3). Эти агрегаты часто можно распо­знать по входящим углам у кристаллов. Существует ряд простых и сложных двойников. Так, у полевых шпатов карлсбадские двойники представляют собой простые двойники срастания, а манебахские двойники — это при­мер сложного двойникования. Другой формой двойнико-вания являются двойники прорастания, часто наблю­дающиеся, например, у флюорита. Наряду с двойника­ми существуют также тройники и полисинтетические двойники, например у арагонита и др. Кроме того, у ставролита, у авгита из базальтов и у ряда других ми­нералов наблюдаются крестообразные двойники.

ТАБЛИЦА 3

ДВОЙНИКИ

Магнетит, октаэдры, простой двой­ник

Шпинель, октаэдры, полисинтетиче­ский двойник

Ортоклаз, карлсбадский двойник

Гипс, двойник

Оловянный камень (касситерит), двойник

Плавиковый шпат (флюорит), двой­ник

ФОРМЫ КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ

Каменная соль, куб: шестигранник

Магнетит, октаэдр: восьмигранник

Гранат, ромбододекаэдр: двенадцати­гранник

Лейцит, икоситетраэдр (тетрагон-триоктаэдр); двадцатичетырехгран-ник (лейцитоэдр)

Пирамидальный куб (двадцатичеты-рехгранник)

ФИЗИЧЕСКИЕ

СВОЙСТВА

МИНЕРАЛОВ

Внешними признаками минералов наряду с формой их кристаллов являются их физические свойства: твердость, плотность, спайность, хрупкость, упругость, пла­стичность, ковкость, оптические свойства (например, окраска, цветная иризация, блеск, прозрачность, двупреломление), а также магнитные и электрические свой­ства и такие свойства, как вкус, запах и ощущение при прикосновении, т. е. восприятие минералов на ощупь гладкими, твердыми или шероховатыми. Все они по­зволяют определять минералы по их внешним призна­кам.