Асимптотическое поведение решений

Общие свойства одномерного уравнения Шредингера.

Рассмотрим уравнение

y’’+[ℰ - U(x)]y = 0, (1)

причём далее будем предполагать, что U(x) – ограниченная вещественная функция, непрерывная при всех за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрывы 1 рода.

Теорема об определителе Вронского.

Определитель

(2)

называют вронскианом или определителем Вронского функций , .

Символом будем обозначать приращение W на промежутке (а,b) , то есть .

Теорема

Пусть – решения соответственно двух уравнений

(3)

(4)

на интервале (а,b), причём непрерывны на (а,b) или имеют конечное число разрывов 1 рода. Тогда:

= (5)

Доказательство

Умножая уравнения (3),(4) на соответственно и вычитая второе из полученных равенств из первого приходим к равенству:

(6)

то, есть

W’ = (F₁ – F₂)z₁ z₂ (7)

Интегрируя его по x в пределах от a до b получаем (5).

Что и требовалось.

Следствие1. Пусть - решения уравнения (1) при и соответственно. Тогда для любых a,b є (-∞,+∞)при истинно равенство:

= (8)

Следствие2. Пусть y,z –два решения уравнения (1) при одном и том же значении ℰ. Тогда

(9)

Определение. Логарифмической производной функции y называют величину .

Следствие3. Пусть - решение уравнения (1) и его логарифмическая производная, причём

(10)

где значение конечно (и не зависит от ℰ)

Тогда при любом истинно равенство

(11)

Замечание. Основное содержание равенства (11) в том, что монотонно растёт по ℰ при и монотонно убывает по ℰ при .

Доказательство следствия 3. Пусть - решение задачи Коши для уравнения (1) при начальных условиях

, , (12)

где конечные значения и не зависят от ℰ. Из общих теорем существования для ОДУ следует, что это решение и его логарифмическая производная непрерывны по ℰ (и по х).

К решениям и Y(x,ℰ+δℰ) = Y(x,ℰ) + δY (x,ℰ),где 𝛿ℰ и

δY =Y(x,ℰ + δℰ) – Y(x,ℰ) -бесконечно малые, применим следствие 1 на интервале (a,b) (равенства с б.м. будем понимать как обычно – как равенства с точностью до б. м. высших порядков):

(13)

Так как , не зависят от ℰ в (12) ,то

Так как

, (14)

то при остальных х получаем:

(15)

Получаем

(Y²δf)|_x=b = -δℰ∫_a^bY²dx ⇒ (Y²(∂f/∂ℰ)|_x=b δℰ) = - δℰ∫_a^bY²dx

Используя всё это в (13) получаем:

(16)

Так как в ( ) – произвольное значение х из ,то (16) совпадает с (11) с точностью до обозначений.

Что и требовалось.

Асимптотическое поведение решений.

Если , то это записывают ещё в виде (x→+∞) и говорят, что y(x) имеет асимптотическую форму при . Можно ,конечно, рассматривать асимптотические формы при или , но здесь нам это не понадобится. Асимптотическая форма решений уравнения (1) при зависит от величины sign(ℰ-U(x)) при . Мы рассмотрим эту форму, имея в виду, что при результаты получаются аналогичные.

Мы будем предполагать, что

(17)

И последовательно рассмотрим 2 возможных при этом случая

(a)

Случай а.

Предложение А. Пусть выполнены условия:

2. U(x) монотонно стремится к конечному пределу при ;

1. (∃x₀)

Тогда вещественные решения уравнения (1) ограничены и осциллируют ( число раз) между двумя значениями при

Если, кроме того, выполнено условие

3. (оно означает, что U(x) стремится к при быстрее, чем ),

то

(18)

где , a -вещественные постоянные.

Доказательство. Действуя в рамках метода Лагранжа вариации произвольных постоянных, введём в уравнение замену переменных на новые переменные A(x) и 𝜑(x) по формулам:

(19)

Сделав несложные выкладки, получаем:

(20)

или, после интегрирования:

(21)

(22)

Интеграл справа в (21) сходится по признаку Дирихле (см. далее) ,поэтому при cтремится к определённому пределу . Так как φ’→0(при x→+∞) (см. 20), то sin(kx+φ) в (19) осциллирует с «периодом», асимптотически стремящимся к 2П/k. Отсюда следует первая часть теоремы. При выполнении условия 3 сходится (также по признаку Дирихле) и интеграл справа в (22), поэтому в этом случае обе функции A(x), 𝜑(x) имеют конечные пределы , и, тем самым, доказана формула (18).

Что и требовалось.

Замечание. Упомянутая выше сходимость интегралов следует из признака сходимости Дирихле для :

если интегрируема на любом конечном интервале вида и a монотонно стремится к 0 при , то интеграл I сходится.

Случай б.

Предложение Б. Пусть выполнено условие

(23)

Тогда существует одно (с точностью до постоянного множителя) решение уравнения (1), стремящееся при к 0 не медленнее, чем , а все другие решения стремятся к не медленнее .

Доказательство. Символами Y(x), Z(x) обозначим два линейно-независимых решения уравнения (1), удовлетворяющих следующим начальным условиям:

Y(x₀) = 1 , Y’(x₀) = 0, (24)

Z(x₀) = 0 , Z’(x₀) = 1, (25)

Нас интересуют отличные от нуля решения с точностью до постоянного множителя. Любое такое решение можно представить в виде:

y(x) = Y(x) + f Z(x) (26)

-это будут решения, обращающиеся в 1 при . Произвольную постоянную можно выразить через начальные данные:

f = y’(x₀) (27)

Лемма. Решения Y(x) и Z(x) монотонно возрастают и положительны при x > x₀

Упражнение. Доказать лемму.

Указание. Воспользуйтесь равенствами:

(28)

(29)

Теперь, кроме уравнения (1) рассмотрим уравнение

(30)

при начальных условиях

(31)

(начальные данные как в (24) для Y!)

Решением задачи Коши (30),(31) является функция

(32)

Применяя теорему об определителе Вронского к решениям Y и уравнений (1)и (30) соответственно, получаем:

Используя то, что

W|_x0 = 0, Y(ξ)>0, ℰ - U(ξ) + M² < 0 при ξ>x₀,

получаем:

W( Y(x),chM(x-x₀) )≤ 0 (33)

откуда

(34)

Интегрируя получаем:

(35)

Аналогично доказывается, что

(36)

Кроме того, из (34) следует, что

(37)

аналогично,

(38)

Теперь докажем оставшуюся часть предложения Б. Из следствия 2 теоремы об определителе Вронского получаем:

Z’Y– Y’Z= 1при x>x₀ (39)

Введем в рассмотрение 2 функции

u(x) = Y(x)/Z(x) , v(x) = Y’(x)/Z’(x) (40)

Из (39) и того, что Y, Z удовлетворяют уравнению (1) следует

u – v = Y/Z – Y’/Z’ = 1/ (ZZ’),

u’ = (Y’Z – YZ’) / Z² = -1/ Z² (41)

v’ = (Y’’Z’ – Y’Z’’) / Z’² = (U - ℰ) / Z’²

При x>x₀ u убывает, а v – возрастает, а их разность обращается в 0 на , поэтому они имеют общий предел Cпри x→+∞.

Очевидно,

v(x) < C < u(x) , x>x₀ (42)

Из (41), (42) следуют неравенства

-1/ZZ’ < v – C < 0 < u – C < 1/ZZ’ (43)

Рассмотрим частное решение уравнения (1) и его производную:

(44)

Они удовлетворяют неравенствам:

, (45)

Итак, положительная функция (x) стремится к 0 не медленнее, чем , т.е. не медленнее чем . Отрицательная функция так же стремится к 0 не медленнее чем . Все это означает, что - то решение, о котором говорилось в предположении Б.

Не существует других таких решений.

Действительно, если , то можно положить и его асимптотическое поведение то же, что у Z.

Что и требовалось доказать.

Структура спектра.

Пусть, для определенности,

U₊ = lim_x→+∞U(x) < U_- = lim_x→-∞U(x) (46)

и рассмотрим три случая:

(а) ℰ>U_- , (b) U_- > ℰ > U₊ , (c) U₊ > ℰ

Случай (а). Согласно (46) видим, что

( ∃x₀>0 ) ( ∀x є (-∞, -x₀)U(x₀, +∞) ) (ℰ > U(x)) (47)

(иначе говоря, ℰ > U(x) на концах интервала (-∞, +∞) ), то есть выполнено условие 1 предположения А п.7.2.2. Пусть выполнено и условие 2 этого предположения. Тогда, как мы доказали, всякое решение уравнения (1) ограничено и, стало быть, допустимо в качестве собственной функции. Это означает, что ℰ - двукратно вырожденное собственное значение.

Таким образом, спектр ℰ > U_- - непрерывный и вырожденный. Так как, согласно упомянутому предложению, в обеих асимптотических областях (-∞, -x₀), (x₀, +∞) собственные функции бесконечное число раз осциллируют между конечными пределами, то собственные значения соответствуют несвязанным состояниям «частицы».

Случай (b). Согласно (46) получаем, что

( ∃x₀>0 ) ( ∀x є (-∞, -x₀) ) (ℰ < U(x)), (48)

( ∃x₀>0 ) ( ∀x є (x₀,+∞) ) (ℰ > U(x)), (49)

то есть выполнены условие 1 предложения А (при x→+∞) и условие (23) предложения Б (при x→-∞).

Как и в случае (а) считаем, что выполнено и условие 2 предложения А (при x→+∞).

Из этих предложений следует, что существует только одно ограниченное решение (оно экспоненциально убывает) в области

(-∞,x₀), оно остается ограниченным и бесконечное число раз осциллирует в области (x₀, +∞).

Таким образом, спектр U₊ < ℰ <U_- непрерывный и невырожденный. Все состояния несвязанные.

Случай (с). Опять таки, согласно (46)

( ∃x₀>0 ) ( ∀x є (-∞, -x₀)U(x₀,+∞) ) (ℰ < U(x)), (50)

то есть выполнено условие (23) предложения Б (как при x→-∞, так и при x→+∞).

Отсюда следует, что при каждом ℰ в рассматриваемом сейчас случае существует единственное ограниченное в области (x₀,+∞) решение ₊(x, ℰ) и единственное ограниченное в области (-∞, x₀) решение

_-(x, ℰ) (единственность понимается с точностью до постоянных множителей для каждого решения). Эти решения ₊(x, ℰ) и _-(x, ℰ) стремятся экспоненциально к 0 при x→+∞ и x→-∞ соответственно. Это в частности означает, что для каждого ℰ, если собственная функция существует, то представляет связанное состояние.

Что касается существования собственных функций при данном ℰ, то для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство

f_-(x₀,ℰ) = f₊(x₀,ℰ), (51)

где f_-, f₊ - логарифмические производные функций ₊ и _-, а x₀ –любая точка из (-∞, +∞), в которой f_-, f₊ непрерывны.

Пользуясь следствием 3 теоремы п.7.2. (или как-то иначе) можно показать (а мы примем это без доказательства), что равенство (51) может выполняться только для дискретного набора (изолированных) значений ℰ, то есть в рассматриваемом случае спектр дискретный.